Determine o tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de carbono de 0,30 %p a 4 mm da superfície de uma liga ferro-carbono contendo inicialmente 0,10 %p C. A concentração na superfície deve ser mantida em 0,90 % p C, e o tratamento deve ser conduzido a 1100^circ C. Considere os dados de difusão para o Fe gamma na Tabela 5.2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma liga de ferro-carbono que inicialmente contém 0,10% de carbono. Queremos saber quanto tempo leva para que, a uma temperatura de 1100°C, a concentração de carbono chegue a 0,30% a uma profundidade de 4 mm da superfície. Para isso, a concentração na superfície é mantida constante em 0,90% de carbono. Vamos precisar usar conceitos de difusão, que é o processo pelo qual os átomos de carbono se espalham na liga de ferro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a difusão de carbono na liga de ferro pode ser descrita pela equação da difusão para um meio semi-infinito. A fórmula que relaciona a concentração de carbono em uma profundidade específica com o tempo é:
C(x,t) - C0 = (Cs - C0) cdot erf(x2raizDt)
Onde:
  • $ C(x,t) $ é a concentração de carbono na profundidade $ x $ e no tempo $ t $.
  • $ C_0 $ é a concentração inicial de carbono (0,10%).
  • $ C_s $ é a concentração na superfície (0,90%).
  • $ erf $ é a função erro.
  • $ D $ é o coeficiente de difusão do carbono na liga de ferro a 1100°C.
  • $ x $ é a profundidade (4 mm).
  • $ t $ é o tempo que queremos encontrar.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $ necessário para que $ C(x,t) = 0,30% $. Vamos reorganizar a equação para resolver $ t $:
t
Aplicando a função inversa da função erro (erf C(x,t) = 0,30% ) em ambos os lados:
t
Agora, isolamos $ t $:
C(x,t) - C0Cs - C0 = erf(x2raizDt)

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ C_0 = 0,10% $
  • $ C_s = 0,90% $
  • $ C(x,t) = 0,30% $
  • $ x = 4 mm $
Primeiro, calculamos a parte dentro da função inversa da função erro:
C0 = 0,10%
Então:
Cs = 0,90%

Passo 5

Agora, substituímos na equação do tempo:
t = ( 4 mm2 cdot 0,225 )^2 cdot 1D
Primeiro, calculamos o numerador:
42 cdot 0,225 = 40,45 approx 8,89
Elevamos ao quadrado:
(8,89)^2 approx 79
Então:
t = 79D

Passo 6

Agora, precisamos do valor do coeficiente de difusão $ D $ para o carbono na liga de ferro a 1100°C. Esse valor geralmente é fornecido em tabelas como a Tabela 5.2 mencionada na questão. Supondo que a Tabela 5.2 nos dá $ D = 1,0 \times 10^{-9} , m^2/s $ (esse valor é hipotético; você deve usar o valor real da tabela fornecida).

Passo 7

Substituímos o valor de $ D $ na equação do tempo:
D

Passo 8

Convertendo segundos para horas:
7,9 times 10^10 s div 3600 approx 2,19 times 10^7 h
E para anos:
2,19 times 10^7 h div (24 times 365) approx 2,50 times 10^3 anos

Resposta

O tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de 0,30% de carbono a 4 mm da superfície é aproximadamente 2.500 anos.

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