Determine o tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de carbono de 0,30 %p a 4 mm da superfície de uma liga ferro-carbono contendo inicialmente 0,10 %p C. A concentração na superfície deve ser mantida em
p C, e o tratamento deve ser conduzido a
. Considere os dados de difusão para o Fe
na Tabela 5.2.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma liga de ferro-carbono que inicialmente contém 0,10% de carbono. Queremos saber quanto tempo leva para que, a uma temperatura de 1100°C, a concentração de carbono chegue a 0,30% a uma profundidade de 4 mm da superfície. Para isso, a concentração na superfície é mantida constante em 0,90% de carbono. Vamos precisar usar conceitos de difusão, que é o processo pelo qual os átomos de carbono se espalham na liga de ferro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a difusão de carbono na liga de ferro pode ser descrita pela equação da difusão para um meio semi-infinito. A fórmula que relaciona a concentração de carbono em uma profundidade específica com o tempo é:
Onde:
- $ C(x,t) $ é a concentração de carbono na profundidade $ x $ e no tempo $ t $.
- $ C_0 $ é a concentração inicial de carbono (0,10%).
- $ C_s $ é a concentração na superfície (0,90%).
- $ erf $ é a função erro.
- $ D $ é o coeficiente de difusão do carbono na liga de ferro a 1100°C.
- $ x $ é a profundidade (4 mm).
- $ t $ é o tempo que queremos encontrar.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $ necessário para que $ C(x,t) = 0,30% $. Vamos reorganizar a equação para resolver $ t $:
Aplicando a função inversa da função erro (erf
) em ambos os lados:
Agora, isolamos $ t $:
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ C_0 = 0,10% $
- $ C_s = 0,90% $
- $ C(x,t) = 0,30% $
- $ x = 4 mm $
Primeiro, calculamos a parte dentro da função inversa da função erro:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos na equação do tempo:
Primeiro, calculamos o numerador:
Elevamos ao quadrado:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos do valor do coeficiente de difusão $ D $ para o carbono na liga de ferro a 1100°C. Esse valor geralmente é fornecido em tabelas como a Tabela 5.2 mencionada na questão. Supondo que a Tabela 5.2 nos dá $ D = 1,0 \times 10^{-9} , m^2/s $ (esse valor é hipotético; você deve usar o valor real da tabela fornecida).
Passo 7
Substituímos o valor de $ D $ na equação do tempo:
Passo 8
Convertendo segundos para horas:
E para anos:
Resposta
O tempo de carbonetação necessário para atingir uma concentração de 0,30% de carbono a 4 mm da superfície é aproximadamente 2.500 anos.