Construa explicitamente a transformação linear , tal que , e .

Passo 1

Beleza, então temos que construir uma transformação linear . Isso significa que queremos encontrar uma maneira de transformar vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões de forma linear. Para isso, vamos precisar usar o conceito de matrizes que representam transformações lineares. A gente vai usar as informações que têm no enunciado para montar essa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
onde é um vetor em e tem a seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas no enunciado para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Aplicando a matriz nesses vetores, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar os valores de .
Da segunda equação do segundo conjunto:
Substituindo na primeira equação do primeiro conjunto:
Agora, substituindo na terceira equação do primeiro conjunto:
Com na equação :
Agora, da terceira equação do segundo conjunto:
Finalmente, voltamos à segunda equação do primeiro conjunto para encontrar :

Resposta

Com todos os valores encontrados, a matriz que representa a transformação linear é:
Então, a transformação linear é dada por:

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Encontre a transformação linear cuja matriz que representa é
Mostre que é uma base para .
Mostre que é um subespaço vetorial de .