Construa explicitamente a transformação linear , tal que , e .
Passo 1
Beleza, então temos que construir uma transformação linear . Isso significa que queremos encontrar uma maneira de transformar vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões de forma linear. Para isso, vamos precisar usar o conceito de matrizes que representam transformações lineares. A gente vai usar as informações que têm no enunciado para montar essa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear de para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
onde é um vetor em e tem a seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .
Passo 3
Vamos usar as informações dadas no enunciado para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Aplicando a matriz nesses vetores, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar os valores de c = 4 e f = 1 .
Da segunda equação do segundo conjunto:
a + b + 4 = 1 Rightarrow a + b = -3
Substituindo -a + 2(4) = -3 Rightarrow -a + 8 = -3 Rightarrow -a = -11 Rightarrow a = 11 na primeira equação do primeiro conjunto:
11 + b = -3 Rightarrow b = -14
Agora, substituindo -d + 2(1) = 0 Rightarrow -d + 2 = 0 Rightarrow -d = -2 Rightarrow d = 2 na terceira equação do primeiro conjunto:
d + e + f = 0 Rightarrow 2 + e + 1 = 0 Rightarrow e = -3
Com na equação :
Agora, da terceira equação do segundo conjunto:
Finalmente, voltamos à segunda equação do primeiro conjunto para encontrar :
Resposta
Com todos os valores encontrados, a matriz que representa a transformação linear A = 11 & -14 & 4 2 & -3 & 1 é: