Construa explicitamente a transformação linear T: R^3 ^2, tal que T(1,1,1)=(1,0), T(0,0,1)=(4,1) e T(-1,0,2)=(-3,0).

Passo 1

Beleza, então temos que construir uma transformação linear . Isso significa que queremos encontrar uma maneira de transformar vetores de 3 dimensões em vetores de 2 dimensões de forma linear. Para isso, vamos precisar usar o conceito de matrizes que representam transformações lineares. A gente vai usar as informações que têm no enunciado para montar essa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear T(x) = A x de A = a & b & c d & e & f para pode ser representada por uma matriz de tamanho . Ou seja,
onde é um vetor em e tem a seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas no enunciado para montar um sistema de equações. Sabemos que:
  1. A 111 = 10 Rightarrow a + b + c = 1 e d + e + f = 0
  2. A 001 = 41 Rightarrow 0a + 0b + c = 4 e 0d + 0e + f = 1
  3. A -102 = -30 Rightarrow -a + 0b + 2c = -3 e -d + 0e + 2f = 0
Aplicando a matriz nesses vetores, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar os valores de c = 4 e f = 1 .
Da segunda equação do segundo conjunto:
a + b + 4 = 1 Rightarrow a + b = -3
Substituindo -a + 2(4) = -3 Rightarrow -a + 8 = -3 Rightarrow -a = -11 Rightarrow a = 11 na primeira equação do primeiro conjunto:
11 + b = -3 Rightarrow b = -14
Agora, substituindo -d + 2(1) = 0 Rightarrow -d + 2 = 0 Rightarrow -d = -2 Rightarrow d = 2 na terceira equação do primeiro conjunto:
d + e + f = 0 Rightarrow 2 + e + 1 = 0 Rightarrow e = -3
Com na equação :
Agora, da terceira equação do segundo conjunto:
Finalmente, voltamos à segunda equação do primeiro conjunto para encontrar :

Resposta

Com todos os valores encontrados, a matriz que representa a transformação linear A = 11 & -14 & 4 2 & -3 & 1 é:
T(x) = 11 & -14 & 4 2 & -3 & 1 x
Então, a transformação linear é dada por:

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