Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma dos subespaços é, por si só, um subespaço vetorial de . Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas: se não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que não está vazio. Pelo menos, esse conjunto deve conter o vetor zero. Como e são subespaços de , ambos contêm o vetor zero, ou seja, e . Então, também está em , garantindo que não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma deles também precisa estar em . Então, temos:
Como e são subespaços, e . Portanto, está em , confirmando que é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor em e qualquer escalar , o produto também deve estar em . Calculando:
Como e são subespaços, e . Assim, está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Portanto, verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim, é um subespaço vetorial de .