Mostre que U+W é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma dos subespaços é, por si só, um subespaço vetorial de . Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas: se não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que não está vazio. Pelo menos, esse conjunto deve conter o vetor zero. Como e são subespaços de , ambos contêm o vetor zero, ou seja, e . Então, também está em , garantindo que não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos ver se (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma deles também precisa estar em . Então, temos:
Como e são subespaços, e . Portanto, está em , confirmando que é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se c(u + w) = cu + cw é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor em e qualquer escalar , o produto também deve estar em . Calculando:
Como e são subespaços, e . Assim, está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim, é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados