Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma dos subespaços
é, por si só, um subespaço vetorial de
. Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos verificar três coisas: se
não está vazio, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
não está vazio. Pelo menos, esse conjunto deve conter o vetor zero. Como
e
são subespaços de
, ambos contêm o vetor zero, ou seja,
e
. Então,
também está em
, garantindo que
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma deles também precisa estar em
. Então, temos:
Como
e
são subespaços,
e
. Portanto,
está em
, confirmando que
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o produto
também deve estar em
. Calculando:
Como
e
são subespaços,
e
. Assim,
está em
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Portanto, verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim,
é um subespaço vetorial de
.