Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: base de um espaço vetorial e linearmente independente. Basicamente, uma base precisa ter elementos que sejam suficientes para “gerar” todo o espaço e que não sejam redundantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de , e que nenhum dos elementos de pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 3
Para verificar se é uma base para , precisamos checar duas coisas:
Linearmente independente: Os polinômios em não podem ser escritos como combinações lineares uns dos outros.
Geração: Qualquer polinômio de segundo grau pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de .
Passo 4
Vamos começar verificando a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear que resulte no polinômio zero:
Queremos mostrar que isso implica que .
Passo 5
Expandindo o polinômio:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que esse polinômio seja igual ao zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo essas equações, começamos pela última:
c3 = 0
Substituindo na segunda equação:
c2 + 2(0) = 0 Rightarrow c2 = 0
E na primeira:
c1 + 0 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0
Portanto, a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.
Passo 7
Agora, vamos verificar se betageraP2(R). Isso significa que qualquer polinômio p(x) = a x^2 + b x + c pode ser escrito como:
(k1 + k2 + k3) + (k2 + 2k3)x + k3x^2 = a x^2 + b x + c
Passo 8
Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
k3 = a k2 + 2k3 = b k1 + k2 + k3 = c
Resolvendo essas equações:
Da primeira equação: k3 = a.
Substituindo k3 na segunda: k2 + 2a = b Rightarrow k2 = b - 2a.
Substituindo k2 e k3 na terceira: k1 + (b - 2a) + a = c Rightarrow k1 = c - b + a.
Passo 9
Encontramos valores para k1, k2 e k3 que satisfazem a equação, o que significa que qualquer polinômio de segundo grau pode ser expresso como uma combinação linear dos elementos de beta. Portanto, betageraP2(R).
Resposta
Concluímos que beta = 1, (1+x), (1+x)^2 é uma base para P2(R), já que os elementos de beta são linearmente independentes e geram todo o espaço dos polinômios de segundo grau.