Mostre que beta=1,(1+x),(1+x)^2 é uma base para P2(R)=a x^2+b x+c ; a, b, c in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que o conjunto beta = 1, (1+x), (1+x)^2 é uma base para o espaço P2(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: base de um espaço vetorial e linearmente independente. Basicamente, uma base precisa ter elementos que sejam suficientes para “gerar” todo o espaço e que não sejam redundantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de beta, e que nenhum dos elementos de beta pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 3

Para verificar se beta = 1, (1+x), (1+x)^2 é uma base para P2(R), precisamos checar duas coisas:
  1. Linearmente independente: Os polinômios em beta não podem ser escritos como combinações lineares uns dos outros.
  2. Geração: Qualquer polinômio de segundo grau pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de beta.

Passo 4

Vamos começar verificando a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear que resulte no polinômio zero:
c1 cdot 1 + c2 cdot (1+x) + c3 cdot (1+x)^2 = 0
Queremos mostrar que isso implica que c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 5

Expandindo o polinômio:
c1 + c2(1+x) + c3(1 + 2x + x^2) = 0
Distribuindo os coeficientes:
c1 + c2 + c2x + c3 + 2c3x + c3x^2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(c1 + c2 + c3) + (c2 + 2c3)x + c3x^2 = 0

Passo 6

Para que esse polinômio seja igual ao zero para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser zero:
c1 + c2 + c3 = 0 c2 + 2c3 = 0 c3 = 0
Resolvendo essas equações, começamos pela última:
c3 = 0
Substituindo na segunda equação:
c2 + 2(0) = 0 Rightarrow c2 = 0
E na primeira:
c1 + 0 + 0 = 0 Rightarrow c1 = 0
Portanto, a única solução é c1 = c2 = c3 = 0, o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 7

Agora, vamos verificar se beta gera P2(R). Isso significa que qualquer polinômio p(x) = a x^2 + b x + c pode ser escrito como:
p(x) = k1 cdot 1 + k2 cdot (1+x) + k3 cdot (1+x)^2
Vamos expandir o lado direito:
k1 + k2(1+x) + k3(1 + 2x + x^2) = k1 + k2 + k2x + k3 + 2k3x + k3x^2
Agrupando termos:
(k1 + k2 + k3) + (k2 + 2k3)x + k3x^2 = a x^2 + b x + c

Passo 8

Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
k3 = a k2 + 2k3 = b k1 + k2 + k3 = c
Resolvendo essas equações:
  1. Da primeira equação: k3 = a.
  2. Substituindo k3 na segunda: k2 + 2a = b Rightarrow k2 = b - 2a.
  3. Substituindo k2 e k3 na terceira: k1 + (b - 2a) + a = c Rightarrow k1 = c - b + a.

Passo 9

Encontramos valores para k1, k2 e k3 que satisfazem a equação, o que significa que qualquer polinômio de segundo grau pode ser expresso como uma combinação linear dos elementos de beta. Portanto, beta gera P2(R).

Resposta

Concluímos que beta = 1, (1+x), (1+x)^2 é uma base para P2(R), já que os elementos de beta são linearmente independentes e geram todo o espaço dos polinômios de segundo grau.

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