Mostre que é uma base para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: base de um espaço vetorial e linearmente independente. Basicamente, uma base precisa ter elementos que sejam suficientes para “gerar” todo o espaço e que não sejam redundantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de , e que nenhum dos elementos de pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 3

Para verificar se é uma base para , precisamos checar duas coisas:
  1. Linearmente independente: Os polinômios em não podem ser escritos como combinações lineares uns dos outros.
  2. Geração: Qualquer polinômio de segundo grau pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de .

Passo 4

Vamos começar verificando a linearidade. Suponha que exista uma combinação linear que resulte no polinômio zero:
Queremos mostrar que isso implica que .

Passo 5

Expandindo o polinômio:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Para que esse polinômio seja igual ao zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Resolvendo essas equações, começamos pela última:
Substituindo na segunda equação:
E na primeira:
Portanto, a única solução é , o que mostra que os polinômios são linearmente independentes.

Passo 7

Agora, vamos verificar se gera . Isso significa que qualquer polinômio pode ser escrito como:
Vamos expandir o lado direito:
Agrupando termos:

Passo 8

Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo essas equações:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda: .
  3. Substituindo e na terceira: .

Passo 9

Encontramos valores para , e que satisfazem a equação, o que significa que qualquer polinômio de segundo grau pode ser expresso como uma combinação linear dos elementos de . Portanto, gera .

Resposta

Concluímos que é uma base para , já que os elementos de são linearmente independentes e geram todo o espaço dos polinômios de segundo grau.

Exercícios relacionados

Construa explicitamente a transformação linear , tal que , e .
Mostre que é um subespaço vetorial de .
Determine os autovalores e autovetores do operador dado por , , em que
e de . ada por:
1