a) Construa a função de distribuição adequada.
b) Calcule a temperatura média da sala e a variância.
c) Qual a probabilidade de a temperatura da sala estar entre 21 e 23 graus?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três partes aqui:
a) Construir a função de distribuição adequada.
b) Calcular a temperatura média e a variância da sala.
c) Descobrir a probabilidade da temperatura estar entre 21 e 23 graus.
Para tudo isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição normal, que é muito usada para modelar temperaturas.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a função de distribuição. Como estamos lidando com temperaturas que podem variar de forma contínua e geralmente seguem um padrão onde valores mais próximos da média são mais frequentes, a distribuição normal é a mais adequada.
A função de densidade da distribuição normal é dada por:
f(x) = 1sigma raiz2pi e^ -(x - mu)^22sigma^2
Onde:
  • mu é a média
  • sigma é o desvio padrão

Passo 3

Agora, vamos calcular a temperatura média ( mu) e a variância ( sigma^2) da sala. A média mu é o valor central das temperaturas observadas, e a variância nos mostra o quanto as temperaturas variam em torno dessa média.
Se tivermos dados de v��rias medições de temperatura, a média é calculada somando todas as temperaturas e dividindo pelo número de medições. A variância é calculada somando o quadrado da diferença de cada temperatura em relação à média e dividindo também pelo número de medições.
Por exemplo, se tivermos as seguintes temperaturas: 20, 21, 22, 23, 24 graus.
A média seria:
mu = 20 + 21 + 22 + 23 + 245 = 22
E a variância seria:
sigma^2 = (20-22)^2 + (21-22)^2 + (22-22)^2 + (23-22)^2 + (24-22)^25 = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade da temperatura da sala estar entre 21 e 23 graus. Usando a distribuição normal, a probabilidade de um valor cair entre dois pontos é dada pela área sob a curva entre esses dois valores.
Para fazer isso, vamos padronizar os valores usando o escore Z:
Z = X - musigma
Onde X é o valor de interesse. Com a média mu = 22 e a variância sigma^2 = 2, temos o desvio padrão sigma = raiz2 approx 1,414.
Calculando os escores Z para 21 e 23:
Z21 = 21 - 221,414 approx -0,707
Z23 = 23 - 221,414 approx 0,707
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, a probabilidade entre Z = -0,707 e Z = 0,707 é aproximadamente 0,5 (ou 50%).

Resposta

a) A função de distribuição adequada é a distribuição normal com média mu = 22 e variância sigma^2 = 2:
f(x) = 1raiz2 raiz2pi e^ -(x - 22)^24
b) A temperatura média da sala é 22 graus e a variância é 2.
c) A probabilidade da temperatura da sala estar entre 21 e 23 graus é aproximadamente 50%.

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