f(x)=lc 13, & 0á
(a) Represente graficamente a função de densidade de probabilidade.
(b) Descreva a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
© Calcule a P(X <= 2).
(d) Encontre os quartis.
(e) Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de densidade de probabilidade f(x)=lc 13, & 0 definida por:
á
Vamos precisar usar conceitos de gráficos de funções de densidade, função de distribuição acumulada, probabilidades, quartis, valor esperado e variância. Vamos por partes!

Passo 2

(a) Represente graficamente a função de densidade de probabilidade.
Primeiro, vamos entender que uma função de densidade de probabilidade (fdp) mostra como a probabilidade está distribuída ao longo dos valores de . No nosso caso, para entre 0 e 3, e 0 fora desse intervalo.
Então, o gráfico será uma linha horizontal de altura entre e , e zero em qualquer outro lugar.

Passo 3

(b) Descreva a função de distribuição de e represente-a graficamente.
A função de distribuição acumulada (FDA), , nos dá a probabilidade de que seja menor ou igual a . Para a nossa fdp:
  • Para , (já que aqui).
  • Para , .
  • Para , (pois toda a probabilidade acumulou).
No gráfico, será uma linha reta crescente de 0 até 3, subindo de 0 a 1, e depois se mantendo em 1.

Passo 4

© Calcule P(X <= 2) = F(2) = 23 approx 0,6667 .
Nós queremos a probabilidade de ser menor ou igual a 2. Isso é diretamente a função de distribuição acumulada em :

Passo 5

(d) Encontre os quartis.
Os quartis dividem a distribuição em quatro partes iguais. Precisamos encontrar Q13 = 0,25 Rightarrow Q1 = 0,75 , Q23 = 0,50 Rightarrow Q2 = 1,5 (mediana) e Q33 = 0,75 Rightarrow Q3 = 2,25 tal que:
Usando , resolvemos:
  1. Para :
    2. Para :
  2. Para :

Passo 6

(e) Calcule E(X) = integral0^3 x cdot 13 , dx = 13 cdot x^22 |0^3 = 13 cdot 92 = 32 = 1,5 e E(X^2) = integral0^3 x^2 cdot 13 , dx = 13 cdot x^33 |0^3 = 13 cdot 273 = 3 .
Primeiro, o valor esperado Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (1,5)^2 = 3 - 2,25 = 0,75 :
Agora, a variância :
Primeiro, calculamos :
Então,

Resposta

a) O gráfico de F(x)=lc 0, & x < 0 x3, & 0 <= x <= 3 1, & x > 3 é uma linha horizontal em no intervalo e zero fora desse intervalo.
b) A função de distribuição acumulada é:
c)
d) Os quartis são:
  • (mediana)
e) e

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