1. Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade relacionado ao controle de qualidade. O enunciado fala sobre uma remessa de 800 estabilizadores de tensão, onde 80 são defeituosos. Daí, vamos inspecionar 20 aparelhos e a remessa será aceita se encontrarmos no máximo um defeituoso. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de a remessa ser aceita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é útil quando estamos lidando com amostras sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Total de estabilizadores (população),
  • Total de defeituosos na população,
  • Tamanho da amostra,
  • Número máximo de defeituosos permitidos para aceitação,

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de, na amostra de 20 aparelhos, encontrar no máximo 1 defeituoso. Isso significa que podemos ter ou 0 defeituosos ou 1 defeituoso na amostra. Vamos calcular essas duas probabilidades separadamente e depois somá-las.

Passo 4

Vamos começar calculando a probabilidade de encontrar exatamente 0 defeituosos na amostra, ou seja, todos os 20 aparelhos são não defeituosos. Para isso, usamos a fórmula da distribuição hipergeométrica:
P(X = 0) = dbinom72020dbinom80020
Aqui, representa o número de maneiras de escolher 20 não defeituosos dentre os 720 disponíveis, e é o total de maneiras de escolher qualquer 20 aparelhos dentre os 800.

Passo 5

Em seguida, calculamos a probabilidade de encontrar exatamente 1 defeituoso na amostra. Usamos novamente a distribuição hipergeométrica:
P(X = 1) = dbinom801 times dbinom72019dbinom80020
Aqui, é o número de maneiras de escolher 1 defeituoso dentre os 80, e é o número de maneiras de escolher os outros 19 não defeituosos.

Passo 6

Agora, para encontrar a probabilidade total de a remessa ser aceita, somamos as duas probabilidades calculadas:
P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = dbinom72020dbinom80020 + dbinom801 times dbinom72019dbinom80020

Passo 7

Para simplificar os cálculos, podemos usar aproximações ou um software de estatística que calcule probabilidades hipergeométricas. No entanto, para termos uma ideia geral, podemos entender que a probabilidade será a soma das duas situações possíveis: nenhum defeituoso ou apenas um defeituoso na amostra.

Resposta

A probabilidade de a remessa ser aceita é:
P(X <= 1) = dbinom72020dbinom80020 + dbinom801 times dbinom72019dbinom80020

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