Construa o gráfico da função
y=xraizx^2-1
De início, observe que
Dom(f)=x in R: x^2-1>0=x in R: x^2>1=x in R: x<-1 ou x>1=(-infty,-1) cup(1, infty).
PASSO 1: CÁLCULO DE DERIVADAS

PASSO 2: DETERMINAÇÃO DE ASSÍNTOTAS

Assíntotas VERTICAIS (SE HOUVER):

Observe que x= pm 1 zeram o denominador, então há chance de se ter assíntotas verticais nestes pontos. Mas preste atenção, como Dom(f)=(-infty,-1) cup(1, infty), só faz sentido calcular o limite à esquerda de -1 e à direita de 1 . Então
& lim x -1^- xraizx^2-1=lim x -1^- -1raizx^2-1|x|=-lim x -1^- 1raizx^2-1x^2=-lim x -1^- 1raiz1-1x^2=-10^+=-infty e & lim x 1^+ xraizx^2-1=lim x 1^+ 1raizx^2-1|x|=lim x 1^+ 1raizx^2-1x^2=lim x 1^+ 1raiz1-1x^2=10^+=infty
pois lim x pm 1^ pm raiz1-1x^2=0^+. Logo, x=-1 e x=1 são assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais (SE HOUVER):
Sendo
& lim x infty xraizx^2-1=lim x infty 1raizx^2-1=lim x infty 1raizx^2-1x^2=lim x infty 1raiz1-1x^2=1raizlim x infty(1-1x^2)=11=1 e & lim x -infty xraizx^2-1=lim x -infty -1raizx^2-1|x|=-lim x -infty 1raizx^2-1x^2=-lim x -infty 1raiz1-1x^2=-1raizlim x -infty(1-1x^2)=-11=-1
as retas y=-1 e y=1 são assíntotas horizontais.

Assíntotas oblíquAS (SE HOUVER):

Como há assíntotas horizontais nas direções -infty e infty, não se tem assíntotas oblíquas.
Intervalo Sinal Comportamento de f
f f^prime f^prime prime
(-infty,-1) - - - Decresce/Côncava
(1, infty) + - + Decresce/Convexa
PASSO 3: DETERMINAÇÃo DE PONTOS E VALORES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS
PONTOS E VALORES DE MÁXimo LOCAL Pontos E VALORES DE MíniMO LOCAL
Como f^prime(x)=-1(x^2-1)^32<0, para todo x in Como f^prime(x)=-1(x^2-1)^32<0, para todo x in
Dom (f), não há pontos críticos, logo não há <br> chance de se ter pontos de máximo local. Dom (f), não há pontos críticos, logo não há <br> chance de se ter pontos de mínimo local.
PASSO 4: DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE INFLEXÃO
Como não pontos do gráfico em que a função troca de concavidade, não há pontos de inflexão.

PASSO 5: ESBOÇo DO GRÁfICO

Passo 1

Beleza, vamos construir o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo como domínio da função, assíntotas, derivadas para analisar o comportamento da função, e pontos de inflexão. Vamos dar uma olhada em cada uma dessas partes para desenhar o gráfico certinho!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de x^2 - 1 > 0 implies x^2 > 1 implies x < -1 ou x > 1 a função está definida. Olhando para a expressão , sabemos que o que está dentro da raiz precisa ser positivo:
Então, o domínio é .

Passo 3

Agora, vamos procurar pelas assíntotas verticais. Essas são linhas verticais onde a função tende ao infinito. Observamos que o denominador limx to -1^- xraizx^2 - 1 = -infty e limx to 1^+ xraizx^2 - 1 = infty zera quando e , então vamos verificar o limite nesses pontos:
Isso significa que e são assíntotas verticais.

Passo 4

Vamos ver as assíntotas horizontais, que mostram o comportamento da função quando limx to infty xraizx^2 - 1 = 1 e limx to -infty xraizx^2 - 1 = -1 vai para ou :
Assim, temos duas assíntotas horizontais: e .

Passo 5

Vamos analisar as derivadas para entender onde a função está crescendo ou decrescendo e sua concavidade. Calculando a primeira derivada:
f'(x) = ddx ( xraizx^2 - 1 ) = -1(x^2 - 1)^32
Como f''(x) = 3x(x^2 - 1)^52 é sempre negativo no domínio, a função está sempre decrescendo. A segunda derivada nos mostra a concavidade:
Dependendo do sinal de , a concavidade muda:
  • Para , é negativa: a função é côncava.
  • Para , é positiva: a função é convexa.

Passo 6

Vamos verificar se há pontos de máximo ou mínimo local. Observando a primeira derivada , que é sempre negativa, percebemos que a função nunca muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Portanto, não há máximos ou mínimos locais.

Passo 7

Por último, vamos identificar se existem pontos de inflexão, onde a concavidade muda. Observando a segunda derivada, a concavidade muda de côncava para convexa quando passamos de para , mas isso ocorre nos extremos do domínio, não em pontos específicos dentro do domínio. Então, não há pontos de inflexão.

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Domínio: .
  • Assíntotas verticais: e .
  • Assíntotas horizontais: e .
  • A função é decrescente em todo o seu domínio.
  • A função é côncava em e convexa em .
  • Sem pontos de máximo ou mínimo local e sem pontos de inflexão.
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico mostrando as assíntotas, o comportamento decrescente em cada intervalo e a mudança de concavidade nas regiões especificadas.

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