Construa o gráfico da função
De início, observe que
ou
.
PASSO 1: CÁLCULO DE DERIVADAS
PASSO 2: DETERMINAÇÃO DE ASSÍNTOTAS
Assíntotas VERTICAIS (SE HOUVER):
Observe que
zeram o denominador, então há chance de se ter assíntotas verticais nestes pontos. Mas preste atenção, como
, só faz sentido calcular o limite à esquerda de -1 e à direita de 1 . Então
pois
. Logo,
e
são assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais (SE HOUVER):
Sendo
as retas
e
são assíntotas horizontais.
Assíntotas oblíquAS (SE HOUVER):
Como há assíntotas horizontais nas direções
, não se tem assíntotas oblíquas.
PASSO 1: CÁLCULO DE DERIVADAS
Assíntotas horizontais (SE HOUVER):
Sendo
Intervalo | Sinal | Comportamento de
|
||
---|---|---|---|---|
|
|
|
||
|
- | - | - | Decresce/Côncava |
|
+ | - | + | Decresce/Convexa |
PASSO 3: DETERMINAÇÃo DE PONTOS E VALORES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS
PONTOS E VALORES DE MÁXimo LOCAL | Pontos E VALORES DE MíniMO LOCAL |
---|---|
Como
|
Como
|
Dom
|
Dom
|
PASSO 4: DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE INFLEXÃO
Como não pontos do gráfico em que a função troca de concavidade, não há pontos de inflexão.
Como não pontos do gráfico em que a função troca de concavidade, não há pontos de inflexão.
PASSO 5: ESBOÇo DO GRÁfICO
Passo 1
Beleza, vamos construir o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cálculo como domínio da função, assíntotas, derivadas para analisar o comportamento da função, e pontos de inflexão. Vamos dar uma olhada em cada uma dessas partes para desenhar o gráfico certinho!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. Olhando para a expressão
, sabemos que o que está dentro da raiz precisa ser positivo:
Então, o domínio é
.
Passo 3
Agora, vamos procurar pelas assíntotas verticais. Essas são linhas verticais onde a função tende ao infinito. Observamos que o denominador
zera quando
e
, então vamos verificar o limite nesses pontos:
Isso significa que
e
são assíntotas verticais.
Passo 4
Vamos ver as assíntotas horizontais, que mostram o comportamento da função quando
vai para
ou
:
Assim, temos duas assíntotas horizontais:
e
.
Passo 5
Vamos analisar as derivadas para entender onde a função está crescendo ou decrescendo e sua concavidade. Calculando a primeira derivada:
Como
é sempre negativo no domínio, a função está sempre decrescendo. A segunda derivada nos mostra a concavidade:
Dependendo do sinal de
, a concavidade muda:
- Para
, é negativa: a função é côncava. - Para
, é positiva: a função é convexa.
Passo 6
Vamos verificar se há pontos de máximo ou mínimo local. Observando a primeira derivada
, que é sempre negativa, percebemos que a função nunca muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Portanto, não há máximos ou mínimos locais.
Passo 7
Por último, vamos identificar se existem pontos de inflexão, onde a concavidade muda. Observando a segunda derivada, a concavidade muda de côncava para convexa quando passamos de
para
, mas isso ocorre nos extremos do domínio, não em pontos específicos dentro do domínio. Então, não há pontos de inflexão.
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntotas horizontais:
e . - A função é decrescente em todo o seu domínio.
- A função é côncava em
e convexa em . - Sem pontos de máximo ou mínimo local e sem pontos de inflexão.
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico mostrando as assíntotas, o comportamento decrescente em cada intervalo e a mudança de concavidade nas regiões especificadas.