Determine o ponto da parábola y=1-x^2 que se encontra mais próximo da origem.
A distância de um ponto (x, 1-x^2) do gráfico à origem é dada por
d((x, y),(0,0))=raiz(x-0)^2+(y-0)^2=raizx^2+(1-x^2)^2=raizx^4-x^2+1
Ao invés de trabalhar com a distância, notando que minimizar a distância é o mesmo que minimizar o quadrado da distância, considerarse-á
f(x)=x^4-x^2+1,
cuja derivada é dada por f^prime(x)=4 x^3-2 x=2 x(2 x^2-1). Logo, os pontos críticos de f são x=0 e x= pm raiz22. Ao analisar o sinal da derivada f^prime :
& f^prime(x)>0 Leftrightarrow(2 x<0 e 2 x^2-1<0) ou (2 x>0 e 2 x^2-1>0) Leftrightarrow x<-raiz22 ou x>raiz22 & f^prime(x)<0 Leftrightarrow(2 x<0 e 2 x^2-1>0) ou (2 x>0 e 2 x^2-1<0) Leftrightarrow-raiz22
Portanto, x=0 é um máximo local e x= pm raiz22 são pontos de mínimo local. Como lim x pm f(x)=infty, os pontos x= pm raiz22 são pontos de mínimo global, consequentemente, os pontos da parábola mais próximos da origem são
& (x1, 1-x1^2)=(raiz22, 1-(raiz22)^2)=(raiz22, 12) e & (x2, 1-x2^2)=(-raiz22, 1-(-raiz22)^2)=(-raiz22, 12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto da parábola que está mais perto da origem (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, como derivadas para encontrar pontos mínimos. Basicamente, vamos calcular a distância entre um ponto da parábola e a origem e descobrir qual dessa distância é a menor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre d((x, y), (0,0)) = raiz(x-0)^2 + (y-0)^2 = raizx^2 + y^2 e d(x) = raizx^2 + (1 - x^2)^2 = raizx^4 - x^2 + 1 é:
Como , substituímos na fórmula:

Passo 3

Para facilitar, vamos minimizar o quadrado da distância, já que a função raiz quadrada é crescente e o mínimo do quadrado também será o mínimo da distância. Então, definimos:
f(x) = x^4 - x^2 + 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos dessa função, ou seja, os valores de f'(x) = ddx(x^4 - x^2 + 1) = 4x^3 - 2x onde a derivada de f'(x) = 2x(2x^2 - 1) é zero ou não existe. Calculando a derivada:
Fatorando a derivada:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos 2x(2x^2 - 1) = 0 :
Isso dá duas soluções:

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal da derivada para saber se esses pontos são máximos ou mínimos. Vamos ver como a derivada se comporta em diferentes intervalos de :
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,

Passo 7

Com base nisso:
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando que é um máximo local.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva também, indicando que são mínimos locais.
Como para valores de tendendo a , tende a infinito, esses mínimos locais são, de fato, mínimos globais.

Passo 8

Então, os pontos da parábola mais próximos da origem são quando y = 1 - (raiz22)^2 = 1 - 24 = 12 . Vamos calcular as coordenadas:
Para y = 1 - (-raiz22)^2 = 1 - 24 = 12 :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos da parábola mais próximos da origem são e .

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