Determine o ponto da parábola
que se encontra mais próximo da origem.
A distância de um ponto
do gráfico à origem é dada por
Ao invés de trabalhar com a distância, notando que minimizar a distância é o mesmo que minimizar o quadrado da distância, considerarse-á
cuja derivada é dada por
. Logo, os pontos críticos de
são
e
. Ao analisar o sinal da derivada
:
Portanto,
é um máximo local e
são pontos de mínimo local. Como
, os pontos
são pontos de mínimo global, consequentemente, os pontos da parábola mais próximos da origem são
A distância de um ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto da parábola
que está mais perto da origem (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, como derivadas para encontrar pontos mínimos. Basicamente, vamos calcular a distância entre um ponto da parábola e a origem e descobrir qual dessa distância é a menor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre
e
é:
Como
, substituímos na fórmula:
Passo 3
Para facilitar, vamos minimizar o quadrado da distância, já que a função raiz quadrada é crescente e o mínimo do quadrado também será o mínimo da distância. Então, definimos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos dessa função, ou seja, os valores de
onde a derivada de
é zero ou não existe. Calculando a derivada:
Fatorando a derivada:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Isso dá duas soluções:
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal da derivada para saber se esses pontos são máximos ou mínimos. Vamos ver como a derivada se comporta em diferentes intervalos de
:
- Para
, - Para
, - Para
, - Para
,
Passo 7
Com base nisso:
- Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando que é um máximo local. - Em
, a derivada muda de negativa para positiva também, indicando que são mínimos locais.
Como para valores de
tendendo a
,
tende a infinito, esses mínimos locais são, de fato, mínimos globais.
Passo 8
Então, os pontos da parábola mais próximos da origem são quando
. Vamos calcular as coordenadas:
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Os pontos da parábola
mais próximos da origem são
e
.