integral cos x cdot cos (sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos x cdot cos (sen x) , dx. Esse problema envolve cálculo integral, especificamente a integração de um produto de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que temos cos x multiplicando cos(sen x). Uma boa escolha de substituição é deixar u = sen x.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du. Sabemos que:
dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx
Isso é ótimo porque temos exatamente cos x , dx na nossa integral original.

Passo 4

Com a substituição u = sen x e du = cos x , dx, podemos reescrever a integral original em termos de u:
integral cos x cdot cos (sen x) , dx = integral cos u , du
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Vamos resolver a integral integral cos u , du. A antiderivada de cos u é sen u, então:
integral cos u , du = sen u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u por sen x:
sen u + C = sen (sen x) + C

Resposta

A integral integral cos x cdot cos (sen x) , dx é igual a:
sen (sen x) + C

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