Construa os gráficos das funções definidas em :

Passo 1

Beleza! Então o enunciado pede para a gente construir o gráfico da função quadrática . Vamos usar conhecimentos de funções do segundo grau, tipo parábolas, e vamos precisar achar pontos importantes como vértice, interseções com os eixos e entender a direção da abertura da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função quadrática, que estão na forma . Aqui, temos:
Esses valores vão nos ajudar a encontrar o vértice e as interseções com os eixos.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola, dependendo se ela abre para cima ou para baixo. A fórmula para a coordenada do vértice é:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar a coordenada do vértice, substituímos na função original:
Calculando passo a passo:
Então, o vértice é .

Passo 4

Vamos descobrir se a parábola abre para cima ou para baixo. Isso depende do coeficiente :
  • Se , abre para cima.
  • Se , abre para baixo.
Aqui, , que é positivo, então a parábola abre para cima.

Passo 5

Agora, vamos achar as interseções com o eixo . Para isso, colocamos na função:
Então, a parábola intercepta o eixo no ponto .

Passo 6

Para encontrar as interseções com o eixo , precisamos resolver a equação . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, temos duas soluções:
Portanto, as interseções com o eixo são nos pontos e .

Passo 7

Vamos resumir tudo para construir o gráfico:
  • Vértice:
  • Interseção com o eixo :
  • Interseções com o eixo : e
  • Abertura: Para cima
Com esses pontos, você pode desenhar a parábola garantindo que ela passa por esses pontos e abre para cima.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para cima, com vértice em , intercepta o eixo no ponto e cruza o eixo nos pontos e . Usando esses pontos, você pode desenhar o gráfico da função.

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A função custo total C.
Determine os zeros reais das funções: