Construa três sistemas lineares possuindo o primeiro uma solução, o segundo nenhuma solução e o terceiro infinitas soluçoes. Depois escalone as matrizes e verifique3 usando os postos, que suas construções possuem o número de soluções apropriado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir três sistemas lineares de 4 equações com 4 incógnitas cada. O primeiro sistema vai ter uma solução única, o segundo não terá solução nenhuma e o terceiro terá infinitas soluções. Depois, vamos escalonar essas matrizes e usar os postos para verificar se elas estão de acordo com o que a gente construiu. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, soluções de sistemas, escalonamento de matrizes e postos.
Passo 2
Sistema com uma única solução
Vamos criar um sistema onde as equações são independentes, ou seja, nenhuma equação pode ser obtida a partir das outras. Isso garante que o sistema tenha uma única solução.
Exemplo de sistema:
Passo 3
Sistema sem solução
Para criar um sistema sem solução, vamos garantir que ele seja inconsistente. Isso geralmente acontece quando uma das equações contradiz as outras.
Exemplo de sistema:
x + y + z + w = 10 2x + 2y + 2z + 2w = 20 x + y + z + w = 15 3x + 3y + 3z + 3w = 30
Note que a terceira equação contradiz a primeira .
Passo 4
Sistema com infinitas soluções
Aqui, vamos criar um sistema onde pelo menos uma equação pode ser obtida a partir das outras, fazendo com que haja dependência linear e, consequentemente, infinitas soluções.
Exemplo de sistema:
x + y + z + w = 10 2x + 2y + 2z + 2w = 20 3x + 3y + 3z + 3w = 30 x + y + z + w = 10
Perceba que a segunda e terceira equações são múltiplos da primeira, e a quarta é igual à primeira, indicando dependência.
Passo 5
Escalonando e verificando os postos
Vamos escalonar cada matriz aumentada e ver os postos para confirmar as características das soluções.
Após escalonamento, notamos que a terceira linha levará a uma equação impossível, como 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 2 & 2 & 2 & 2 & | & 20 3 & 3 & 3 & 3 & | & 30 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 , indicando que o posto da matriz aumentada é maior que o da matriz dos coeficientes. Portanto, não há solução.
Sistema com infinitas soluções
Matriz aumentada:
Após escalonamento, várias linhas se tornarão iguais ou múltiplos umas das outras, resultando em um posto menor que 4 (por exemplo, 1). Isso significa que há infinitas soluções.
Resposta
Construímos três sistemas lineares : o primeiro com uma única solução, o segundo sem solução nenhuma e o terceiro com infinitas soluções. Após escalonarmos as matrizes e verificar os postos, confirmamos que cada sistema possui o número de soluções apropriado conforme o solicitado.