Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a)
, se
e -2
(b)
, se
©
, se
(d)
, se
e
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado. Precisamos construir os gráficos de funções quadráticas e determinar o domínio e o conjunto imagem de cada uma. Para isso, vamos usar conceitos de funções do segundo grau, como o formato da parábola, o vértice e a direção da abertura (para cima ou para baixo) dependendo dos coeficientes. Além disso, lembraremos que o domínio de uma função quadrática é sempre todos os números reais, enquanto o conjunto imagem varia de acordo com a concavidade da parábola.
Passo 2
Parte (a):
, onde
e
.
Vamos analisar cada valor de
:
-
Quando
: - Forma da Parábola: Abertura para cima.
- Domínio: Todos os números reais (
). - Conjunto Imagem:
. - Gráfico: Uma parábola com vértice na origem (0,0) e abertura padrão.
-
Quando
: - Forma da Parábola: Abertura para cima, mas mais “aberta” que quando
. - Domínio: Todos os números reais (
). - Conjunto Imagem:
. - Gráfico: Parábola mais larga comparada a
.
- Forma da Parábola: Abertura para cima, mas mais “aberta” que quando
-
Quando
: - Forma da Parábola: Abertura para baixo devido ao coeficiente negativo.
- Domínio: Todos os números reais (
). - Conjunto Imagem:
. - Gráfico: Parábola invertida com vértice na origem.
Passo 3
Parte (b):
, onde
.
Aqui, o termo
representa uma translação vertical da parábola básica
.
-
Quando
: - Gráfico: Mesma que
, vértice na origem. - Domínio:
. - Conjunto Imagem:
.
- Gráfico: Mesma que
-
Quando
: - Deslocamento: A parábola sobe 1 unidade.
- Vértice: (0,1).
- Conjunto Imagem:
.
-
Quando
: - Deslocamento: A parábola sobe 0,5 unidades.
- Vértice: (0,0.5).
- Conjunto Imagem:
.
-
Quando
: - Deslocamento: A parábola desce 3 unidades.
- Vértice: (0,-3).
- Conjunto Imagem:
.
Passo 4
Parte ©:
, onde
.
Nesta função,
representa uma translação vertical, e
indica um deslocamento horizontal da parábola.
-
Quando
: - Vértice: (1,0).
- Domínio:
. - Conjunto Imagem:
. - Gráfico: Parábola com vértice na (1,0).
-
Quando
: - Vértice: (1,1).
- Conjunto Imagem:
. - Gráfico: Parábola deslocada 1 unidade para cima.
-
Quando
: - Vértice: (1,-1).
- Conjunto Imagem:
. - Gráfico: Parábola deslocada 1 unidade para baixo.
Passo 5
Parte (d):
, onde
,
e
.
Vamos determinar o gráfico, o domínio e o conjunto imagem.
-
Forma da Parábola:
- Coeficiente
: Abertura para cima.
- Coeficiente
-
Vértice da Parábola:
- Fórmula do vértice:
, . - Calculando:
- Vértice: (1,4).
- Fórmula do vértice:
-
Domínio:
-
.
-
-
Conjunto Imagem:
- Como a parábola abre para cima, o valor mínimo de
é o do vértice. -
.
- Como a parábola abre para cima, o valor mínimo de
-
Gráfico:
- Parábola com vértice em (1,4), abrindo para cima.
Resposta
Construímos os gráficos das funções quadráticas para cada caso, determinando seus domínios e conjuntos imagem conforme descrito acima.
Exercícios relacionados
Mostrar que arg senh
, para todo valor de
. Sejam
e
. Então,
e portanto,
. Multiplicando ambos os membros da igualdade por
, temos
Resolvendo esta equação para
Como
para qualquer
, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto,
Tomando o logaritmo natural, temos
Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
com relação a
:
Calcule os pontos críticos de
, onde
.