Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) , se e -2
(b) , se
© , se
(d) , se e .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Precisamos construir os gráficos de funções quadráticas e determinar o domínio e o conjunto imagem de cada uma. Para isso, vamos usar conceitos de funções do segundo grau, como o formato da parábola, o vértice e a direção da abertura (para cima ou para baixo) dependendo dos coeficientes. Além disso, lembraremos que o domínio de uma função quadrática é sempre todos os números reais, enquanto o conjunto imagem varia de acordo com a concavidade da parábola.

Passo 2

Parte (a): , onde e .
Vamos analisar cada valor de :
  1. Quando :
    • Forma da Parábola: Abertura para cima.
    • Domínio: Todos os números reais ( ).
    • Conjunto Imagem: .
    • Gráfico: Uma parábola com vértice na origem (0,0) e abertura padrão.
  2. Quando :
    • Forma da Parábola: Abertura para cima, mas mais “aberta” que quando .
    • Domínio: Todos os números reais ( ).
    • Conjunto Imagem: .
    • Gráfico: Parábola mais larga comparada a .
  3. Quando :
    • Forma da Parábola: Abertura para baixo devido ao coeficiente negativo.
    • Domínio: Todos os números reais ( ).
    • Conjunto Imagem: .
    • Gráfico: Parábola invertida com vértice na origem.

Passo 3

Parte (b): , onde .
Aqui, o termo representa uma translação vertical da parábola básica .
  1. Quando :
    • Gráfico: Mesma que , vértice na origem.
    • Domínio: .
    • Conjunto Imagem: .
  2. Quando :
    • Deslocamento: A parábola sobe 1 unidade.
    • Vértice: (0,1).
    • Conjunto Imagem: .
  3. Quando :
    • Deslocamento: A parábola sobe 0,5 unidades.
    • Vértice: (0,0.5).
    • Conjunto Imagem: .
  4. Quando :
    • Deslocamento: A parábola desce 3 unidades.
    • Vértice: (0,-3).
    • Conjunto Imagem: .

Passo 4

Parte ©: , onde .
Nesta função, representa uma translação vertical, e indica um deslocamento horizontal da parábola.
  1. Quando :
    • Vértice: (1,0).
    • Domínio: .
    • Conjunto Imagem: .
    • Gráfico: Parábola com vértice na (1,0).
  2. Quando :
    • Vértice: (1,1).
    • Conjunto Imagem: .
    • Gráfico: Parábola deslocada 1 unidade para cima.
  3. Quando :
    • Vértice: (1,-1).
    • Conjunto Imagem: .
    • Gráfico: Parábola deslocada 1 unidade para baixo.

Passo 5

Parte (d): , onde , e .
Vamos determinar o gráfico, o domínio e o conjunto imagem.
  1. Forma da Parábola:
    • Coeficiente : Abertura para cima.
  2. Vértice da Parábola:
    • Fórmula do vértice: , .
    • Calculando:
    • Vértice: (1,4).
  3. Domínio:
    • .
  4. Conjunto Imagem:
    • Como a parábola abre para cima, o valor mínimo de é o do vértice.
    • .
  5. Gráfico:
    • Parábola com vértice em (1,4), abrindo para cima.

Resposta

Construímos os gráficos das funções quadráticas para cada caso, determinando seus domínios e conjuntos imagem conforme descrito acima.

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Mostrar que arg senh , para todo valor de . Sejam e . Então, e portanto, . Multiplicando ambos os membros da igualdade por , temos

Resolvendo esta equação para pela fórmula quadrática, obtemos
Como para qualquer , a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto,

Tomando o logaritmo natural, temos
Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de com relação a :
Calcule os pontos críticos de , onde .