Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
com relação a
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a derivada de
em relação a
usando derivação logarítmica. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções que são potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a derivação. Isso é útil porque transforma a potência em um produto, facilitando a diferenciação.
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar a expressão:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo.
Passo 5
Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos derivar o lado direito. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Passo 7
Derivando
, usamos a regra da cadeia novamente:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Passo 9
Agora, para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) , se
e -2
(b) , se
© , se
(d) , se
e
.
(a)
(b)
©
(d)
Mostrar que arg senh
, para todo valor de
. Sejam
e
. Então,
e portanto,
. Multiplicando ambos os membros da igualdade por
, temos
Resolvendo esta equação para
Como
para qualquer
, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto,
Tomando o logaritmo natural, temos
Calcule os pontos críticos de
, onde
.
Use a regra da cadeia para achar
.