Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de y com relação a x : y = (sen x)^x * (ln(sen x) + x * cot(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a derivada de em relação a usando derivação logarítmica. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente sobre derivadas de funções que são potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a derivação. Isso é útil porque transforma a potência em um produto, facilitando a diferenciação.

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar a expressão:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo.

Passo 5

Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos derivar o lado direito. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e .

Passo 7

Derivando , usamos a regra da cadeia novamente:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:

Passo 9

Agora, para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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