Calcule os pontos críticos de y = 2 sen x + cos 2x, onde 0 <= x < 2 pi. x = pi/6, pi/2, 5pi/6, 3pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função no intervalo de . Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar usar derivadas e conhecer um pouco sobre funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
A derivada de é , e a derivada de é (usando a regra da cadeia). Então,

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a resolução:
Podemos fatorar o 2:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação :
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Sabemos que , então podemos substituir:
Fatorando :

Passo 6

Agora, temos duas equações para resolver:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 7

Para :
Sabemos que nos pontos:

Passo 8

Para :
Resolvendo para :
Sabemos que quando:

Passo 9

Então, os pontos críticos no intervalo de são:

Resposta

Os pontos críticos da função no intervalo de são:

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