Calcule os pontos críticos de
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
no intervalo de
. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar usar derivadas e conhecer um pouco sobre funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto.
A derivada de
é
, e a derivada de
é
(usando a regra da cadeia). Então,
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada para facilitar a resolução:
Podemos fatorar o 2:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Sabemos que
, então podemos substituir:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, temos duas equações para resolver:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 7
Para
:
Sabemos que
nos pontos:
Passo 8
Para
:
Resolvendo para
:
Sabemos que
quando:
Passo 9
Então, os pontos críticos no intervalo de
são:
Resposta
Os pontos críticos da função
no intervalo de
são: