O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo do tipo de veículo. Suponha que para um certo automóvel A, o desvio padrão do consumo seja 2 km / l, enquanto para um automóvel B, o desvio padrão é de 3 km / l. A partir de uma amostra de 40 veículos do tipo A e 36 veículos do tipo B, verificamos que o consumo médio de cada veículo foi de 9,3 km / l para o tipo A e de 11,2 km / l para o B. Ao nível de 95% pode-se afirmar que o veículo B é mais econômico?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o consumo de combustível de dois tipos de carros, A e B. A gente sabe a média e o desvio padrão do consumo de cada um, além do tamanho das amostras. A pergunta é: com 95% de confiança, podemos dizer que o carro B é mais econômico que o A? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, como teste de hipóteses para comparar médias de duas populações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa “ser mais econômico”. Aqui, isso quer dizer que o consumo médio do carro B é maior que o do carro A, ou seja, ele anda mais quilômetros por litro. Então, nossa hipótese alternativa será que a média do B é maior que a do A.

Passo 3

Vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese Nula ( H0): A média do consumo do carro A é igual ou maior que a do carro B.
    $ H_0: \mu_A \geq \mu_B $
  • Hipótese Alternativa ( H0: muA >= muB ): A média do consumo do carro B é maior que a do carro A.
    $ H_1: \mu_B > \mu_A $

Passo 4

Como conhecemos os desvios padrão das populações e as amostras são suficientemente grandes, podemos usar o teste z para comparar as médias. A fórmula para o teste é:
z = (barXB - barXA)raizsigmaA^2nA + sigmaB^2nB
Onde:
  • barXA = 9,3 km/l
  • barXB = 11,2 km/l
  • sigmaA = 2 km/l
  • sigmaB = 3 km/l
  • nA = 40
  • nB = 36

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro, que é o erro padrão da diferença das médias:
SE = raiz2^240 + 3^236 = raiz440 + 936 = raiz0,1 + 0,25 = raiz0,35 approx 0,5916

Passo 6

Agora, calculamos o valor de z:
z = 11,2 - 9,30,5916 = 1,90,5916 approx 3,21

Passo 7

Vamos ver qual é o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5% (95% de confiança). Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1,645.

Passo 8

Comparando o nosso z calculado com o valor crítico:
3,21 > 1,645
Como o z calculado é maior que o crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com 95% de confiança, podemos afirmar que o carro B é mais econômico que o carro A.

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