Um restaurante serve, em média, 120 refeições por dia, com um desvio padrão de 20. A pós uma campanha publicitária nos jornais e na TV, os donos do estabelecimento observaram que, em sete dias eles venderam, em média 145 refeições diárias. Suponha que o número de refeições vendidas em um dia qualquer tenha distribuição normal e que a campanha publicitária não alterou o desvio padrão da distribuição, Calcule o intervalo de confiança de 95% para o número médio de refeições por dia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um restaurante que normalmente serve, em média, 120 refeições por dia, com um desvio padrão de 20. Depois de uma campanha publicitária, num período de sete dias, a média de refeições diárias subiu para 145. A pergunta é: qual é o intervalo de confiança de 95% para o número médio de refeições por dia após a campanha? Vamos usar conceitos de estatística, especialmente sobre distribuição normal e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém o verdadeiro valor médio da população. Aqui, queremos ter 95% de certeza de que o intervalo que calcularmos inclui a verdadeira média de refeições diárias após a campanha.

Passo 3

Como estamos lidando com médias e sabemos o desvio padrão da população (20), podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança. A fórmula básica do intervalo de confiança é:
Média pm Z times ( sigmaraizn ) é
Onde:
  • Médiaé é a média observada (145 refeições)
  • Z é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança
  • sigma é o desvio padrão (20)
  • n é o tamanho da amostra (7 dias)

Passo 4

O próximo passo é encontrar o valor de Z correspondente a 95% de confiança. Para 95%, o valor de Z é aproximadamente 1,96. Isso significa que vamos considerar 1,96 desvios padrão da média para cada lado.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
20raiz7 approx 202,6458 approx 7,56

Passo 6

Com o erro padrão, podemos agora calcular a margem de erro multiplicando Z pelo erro padrão:
1,96 times 7,56 approx 14,80

Passo 7

Por fim, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média observada:
145 - 14,80 = 130,20
145 + 14,80 = 159,80

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o número médio de refeições por dia é entre 130,20 e 159,80 refeições.

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