Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma determinada medida uma média de 5,2 mm. Sabendo que as medidas têm distribuição Normal com desvio padrão populacional de 1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre medir uma média de 5,2 mm a partir de 25 peças produzidas por uma máquina. A distribuição das medidas é normal e o desvio padrão da população é 1,2 mm. Nosso objetivo aqui é construir intervalos de confiança para a média com níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e intervalos de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores onde esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança. Como conhecemos o desvio padrão da população e a distribuição é normal, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança z.

Passo 3

A fórmula para calcular o intervalo de confiança é:
barx pm z times ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral (5,2 mm).
  • z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança.
  • sigma é o desvio padrão da população (1,2 mm).
  • n é o tamanho da amostra (25).

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão, que é sigmaraizn.
1,2raiz25 = 1,25 = 0,24
Então, o erro padrão é 0,24 mm.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores críticos z para cada nível de confiança:
  • 90% de confiança: z approx 1,645
  • 95% de confiança: z approx 1,96
  • 99% de confiança: z approx 2,576
Esses valores vêm da tabela da distribuição normal padrão e correspondem aos pontos que deixam as caudas desejadas.

Passo 6

Vamos calcular os intervalos de confiança usando a fórmula mencionada.
Para 90% de confiança:
5,2 pm 1,645 times 0,24
5,2 pm 0,3948
Então, o intervalo é de aproximadamente 4,8052 mm a 5,5948 mm.
Para 95% de confiança:
5,2 pm 1,96 times 0,24
5,2 pm 0,4704
Então, o intervalo é de aproximadamente 4,7296 mm a 5,6704 mm.
Para 99% de confiança:
5,2 pm 2,576 times 0,24
5,2 pm 0,61824
Então, o intervalo é de aproximadamente 4,58176 mm a 5,81824 mm.

Resposta

Os intervalos de confiança para a média são:
  • 90% de confiança: de 4,81 mm a 5,59 mm.
  • 95% de confiança: de 4,73 mm a 5,67 mm.
  • 99% de confiança: de 4,58 mm a 5,82 mm.

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