Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma determinada medida uma média de
. Sabendo que as medidas têm distribuição Normal com desvio padrão populacional de
, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre medir uma média de 5,2 mm a partir de 25 peças produzidas por uma máquina. A distribuição das medidas é normal e o desvio padrão da população é 1,2 mm. Nosso objetivo aqui é construir intervalos de confiança para a média com níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e intervalos de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores onde esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança. Como conhecemos o desvio padrão da população e a distribuição é normal, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança z.
Passo 3
A fórmula para calcular o intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média amostral (5,2 mm). -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança. -
é o desvio padrão da população (1,2 mm). -
é o tamanho da amostra (25).
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão, que é
.
Então, o erro padrão é 0,24 mm.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores críticos
para cada nível de confiança:
- 90% de confiança:
- 95% de confiança:
- 99% de confiança:
Esses valores vêm da tabela da distribuição normal padrão e correspondem aos pontos que deixam as caudas desejadas.
Passo 6
Vamos calcular os intervalos de confiança usando a fórmula mencionada.
Para 90% de confiança:
Então, o intervalo é de aproximadamente 4,8052 mm a 5,5948 mm.
Para 95% de confiança:
Então, o intervalo é de aproximadamente 4,7296 mm a 5,6704 mm.
Para 99% de confiança:
Então, o intervalo é de aproximadamente 4,58176 mm a 5,81824 mm.
Resposta
Os intervalos de confiança para a média são:
- 90% de confiança: de 4,81 mm a 5,59 mm.
- 95% de confiança: de 4,73 mm a 5,67 mm.
- 99% de confiança: de 4,58 mm a 5,82 mm.