Uma conta de colar desliza sobre um fio que tem a forma de uma parábola de equação y=a x. Determine:
(a) as componentes horizontal e vertical da velocidade da conta;
(b) a energia cinética da conta;
© a energia potencial da conta quando o potencial zero está no eixo x;
(d) equação de Lagrange da conta;
(e) a velocidade da conta em um tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma conta de colar que desliza sobre um fio que tem a forma de uma parábola com a equação . Nosso objetivo é determinar várias coisas sobre o movimento dessa conta, incluindo suas componentes de velocidade, energia cinética, energia potencial, a equação de Lagrange e como a velocidade varia com o tempo. Para isso, vamos precisar de conceitos de cinemática, energia e mecânica Lagrange.

Passo 2

(a) Componentes horizontal e vertical da velocidade da conta

Primeiro, vamos encontrar as componentes horizontal ( dydt = a dxdt ) e vertical ( vy = a vx ) da velocidade da conta. Como a conta está deslizando pelo fio, sua posição está relacionada pela equação vx = dxdt .
Para encontrar a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo. Então, derivando vy = a dxdt em relação ao tempo :
Isso nos dá a componente vertical da velocidade ( ) em termos da componente horizontal ( ):
Então, as componentes da velocidade são:

Passo 3

(b) Energia cinética da conta

A energia cinética ( Ec = 12 m v^2 ) de um objeto em movimento é dada por:
v = raizvx^2 + vy^2 = raizvx^2 + (a vx)^2 = vx raiz1 + a^2
Onde Ec = 12 m (vx raiz1 + a^2)^2 = 12 m vx^2 (1 + a^2) é a massa da conta e é a velocidade total. A velocidade total pode ser encontrada combinando as componentes e :
Substituindo na fórmula da energia cinética:

Passo 4

© Energia potencial da conta quando o potencial zero está no eixo Ep = m g h

A energia potencial gravitacional ( Ep = m g a x ) é dada por:
Onde é a altura em relação ao ponto de referência, que nesse caso é o eixo . Como , a altura é igual a :

Passo 5

(d) Equação de Lagrange da conta

A equação de Lagrange é dada por:
ddt ( partial Lpartial dotq ) - partial Lpartial q = 0
Onde L = 12 m vx^2 (1 + a^2) - m g a x é a lagrangiana, e partial Lpartial vx = m vx (1 + a^2) é a coordenada generalizada, que neste caso é ddt ( partial Lpartial vx ) = m (1 + a^2) dvxdt .
Primeiro, calculamos a lagrangiana:
partial Lpartial x = -m g a
Agora, encontramos as derivadas necessárias:
m (1 + a^2) dvxdt + m g a = 0
(1 + a^2) dvxdt + g a = 0
Substituindo na equação de Lagrange:
Podemos simplificar dividindo por :

Passo 6

(e) Velocidade da conta em um tempo (1 + a^2) dvxdt = -g a

A equação diferencial que encontramos é:
dvxdt = -g a1 + a^2
Podemos resolver para vx(t) = -g a1 + a^2 t + C :
vx(t) = -g a1 + a^2 t
Integrando ambos os lados em relação ao tempo vy(t) = a vx(t) = -g a^21 + a^2 t :
Onde é a constante de integração. Se considerarmos que a velocidade inicial , então . Portanto:
E a componente vertical da velocidade será:

Resposta

(a) As componentes da velocidade são e .
(b) A energia cinética da conta é .
© A energia potencial da conta é .
(d) A equação de Lagrange da conta é .
(e) A velocidade da conta em um tempo é e .

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