Uma conta de colar desliza sobre um fio que tem a forma de uma parábola de equação
. Determine:
(a) as componentes horizontal e vertical da velocidade da conta;
(b) a energia cinética da conta;
© a energia potencial da conta quando o potencial zero está no eixo
;
(d) equação de Lagrange da conta;
(e) a velocidade da conta em um tempo
.
(a) as componentes horizontal e vertical da velocidade da conta;
(b) a energia cinética da conta;
© a energia potencial da conta quando o potencial zero está no eixo
(d) equação de Lagrange da conta;
(e) a velocidade da conta em um tempo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma conta de colar que desliza sobre um fio que tem a forma de uma parábola com a equação
. Nosso objetivo é determinar várias coisas sobre o movimento dessa conta, incluindo suas componentes de velocidade, energia cinética, energia potencial, a equação de Lagrange e como a velocidade varia com o tempo. Para isso, vamos precisar de conceitos de cinemática, energia e mecânica Lagrange.
Passo 2
(a) Componentes horizontal e vertical da velocidade da conta
Primeiro, vamos encontrar as componentes horizontal (
) e vertical (
) da velocidade da conta. Como a conta está deslizando pelo fio, sua posição está relacionada pela equação
.
Para encontrar a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo. Então, derivando
em relação ao tempo
:
Isso nos dá a componente vertical da velocidade (
) em termos da componente horizontal (
):
Então, as componentes da velocidade são:
Passo 3
(b) Energia cinética da conta
A energia cinética (
) de um objeto em movimento é dada por:
Onde
é a massa da conta e
é a velocidade total. A velocidade total pode ser encontrada combinando as componentes
e
:
Substituindo na fórmula da energia cinética:
Passo 4
© Energia potencial da conta quando o potencial zero está no eixo
A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
Onde
é a altura em relação ao ponto de referência, que nesse caso é o eixo
. Como
, a altura
é igual a
:
Passo 5
(d) Equação de Lagrange da conta
A equação de Lagrange é dada por:
Onde
é a lagrangiana, e
é a coordenada generalizada, que neste caso é
.
Primeiro, calculamos a lagrangiana:
Agora, encontramos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação de Lagrange:
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 6
(e) Velocidade da conta em um tempo
A equação diferencial que encontramos é:
Podemos resolver para
:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Onde
é a constante de integração. Se considerarmos que a velocidade inicial
, então
. Portanto:
E a componente vertical da velocidade será:
Resposta
(a) As componentes da velocidade são
e
.
(b) A energia cinética da conta é
.
© A energia potencial da conta é
.
(d) A equação de Lagrange da conta é
.
(e) A velocidade da conta em um tempo
é
e
.