Um contador eletrônico de bactérias registra, em média, cinco bactérias por cm^3 de um líquido. Determine:
a) O desvio padrão do número de bactérias por cm^3;
b) A probabilidade de que pelo menos duas bactérias ocorrem num volume líquido de 1 cm^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa entender que estamos lidando com a contagem de bactérias em um líquido, que segue uma distribuição de Poisson. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre Estatística, especificamente sobre distribuições de probabilidade. Vamos calcular o desvio padrão e a probabilidade de ocorrer pelo menos duas bactérias em 1 cm³.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o desvio padrão na distribuição de Poisson. Nessa distribuição, o desvio padrão ( sigma = raizlambda ) é a raiz quadrada da média ( ). A fórmula é:

Passo 3

No enunciado, nos dizem que, em média, há cinco bactérias por sigma = raiz5 approx 2,24 . Isso significa que . Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de que pelo menos duas bactérias ocorram em 1 P(k) = lambda^k e^-lambdak! . Na distribuição de Poisson, a probabilidade de ocorrer exatamente P(k >= 2) = 1 - P(0) - P(1) eventos é dada por:
Queremos , que é:
Vamos calcular e .

Passo 5

Calculando P(0) = 5^0 e^-50! = e^-5 approx 0,0067 :
P(1) = 5^1 e^-51! = 5e^-5 approx 0,0337
Calculando :

Passo 6

Agora, substituindo esses valores na fórmula de P(k >= 2) = 1 - 0,0067 - 0,0337 = 1 - 0,0404 = 0,9596 :

Resposta

a) O desvio padrão do número de bactérias por é aproximadamente 2,24.
b) A probabilidade de que pelo menos duas bactérias ocorram em 1 é de aproximadamente 95,96%.

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