(Normal) Suponha que a altura dos estudantes de uma universidade segue uma distribuição normal com média de 170 cm e desvio padrão de 10 cm. Qual é a probabilidade de um estudante ter altura entre 160 cm e 180 cm?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a distribuição das alturas dos estudantes de uma universidade, que segue uma distribuição normal. A gente precisa encontrar a probabilidade de um estudante ter uma altura entre 160 cm e 180 cm. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre a distribuição normal, média, desvio padrão e o cálculo de probabilidades usando a tabela z.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que a gente tem:
  • Média ( ): 170 cm
  • Desvio padrão ( ): 10 cm
  • Alturas: Queremos a probabilidade entre 160 cm e 180 cm.

Passo 3

Como a distribuição é normal, podemos usar a transformação para a distribuição padrão (distribuição z) para facilitar os cálculos. A fórmula para transformar um valor z = X - musigma na distribuição original para um valor na distribuição padrão é:

Passo 4

Vamos calcular os valores z para 160 cm e 180 cm.
Para 160 cm:
z1 = 160 - 17010 = -1010 = -1
Para 180 cm:
z2 = 180 - 17010 = 1010 = 1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses valores z usando a tabela da distribuição normal padrão.
  • P(Z ≤ 1): A tabela z nos dá aproximadamente 0,8413.
  • P(Z ≤ -1): Da propriedade da simetria da distribuição normal, sabemos que P(Z ≤ -1) = 1 - P(Z ≤ 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587.

Passo 6

A probabilidade de um estudante ter altura entre 160 cm e 180 cm é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(160 <= X <= 180) = P(Z <= 1) - P(Z <= -1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826

Resposta

A probabilidade de um estudante ter altura entre 160 cm e 180 cm é de aproximadamente 68,26%.

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