Em um conversor eletromagnético, a relação (não linear), entre corrente e fluxo concatenado, é dada pela seguinte expressão:
i=f(lambda, x)=(lambda x0,09)^2
Considere que i=2 A e x=0,04 m e calcule:
c) A força eletromagnética usando a expressão da energia e da coenergia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre conversores eletromagnéticos. A gente precisa calcular a força eletromagnética usando as expressões de energia e coenergia. Para isso, vamos trabalhar com a relação não linear que liga a corrente e o fluxo concatenado . Vamos precisar de um pouco de cálculo para integrar essas relações e encontrar a força final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a energia armazenada no sistema está relacionada com a corrente e o fluxo. A energia W = integral0^i lambda , di em um sistema eletromagnético é dada por:
Aqui, é o fluxo concatenado e é a corrente. Como a relação entre e é não linear, precisamos expressar em função de para calcular essa integral.

Passo 3

Vamos reescrever a relação dada no problema para facilitar nossa integração. A relação entre corrente e fluxo é:
i = ( lambda x0,09 )^2
Podemos resolver essa equação para lambda = 0,09x raizi :
W = integral0^i 0,09x raizi , di
Agora, substituímos na expressão da energia:

Passo 4

Vamos calcular a integral:
W = 0,09x integral0^i raizi , di
A integral de integral raizi , di = 23 i^3/2 em relação a W = 0,09x [ 23 i^3/2 ]0^i = 0,09x cdot 23 i^3/2 é:
W = 0,06x i^3/2
Então, substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a força eletromagnética usando a energia, usamos a relação:
F = dWdx
Vamos derivar F = ddx ( 0,06x i^3/2 ) = -0,06x^2 i^3/2 em relação a :

Passo 6

Vamos usar agora a coenergia W' = integral0^lambda i , dlambda , que é dada por:
W' = integral0^lambda ( lambda x0,09 )^2 dlambda = x^20,0081 integral0^lambda lambda^2 , dlambda
Usando a relação integral lambda^2 , dlambda = 13 lambda^3 , substituímos na integral:
W' = x^20,0081 cdot 13 lambda^3 = x^20,0243 lambda^3
Calculando a integral:
Então:

Passo 7

Para encontrar a força usando a coenergia, usamos:
F = dW'dx
Derivando F = ddx ( x^20,0243 lambda^3 ) = 2x0,0243 lambda^3 em relação a :

Resposta

A força eletromagnética calculada usando a expressão da energia é:
F = -0,06x^2 i^3/2
E a força calculada usando a expressão da coenergia é:
F = 2x0,0243 lambda^3
Com os valores fornecidos ( F = -0,06(0,04)^2 times (2)^3/2 approx -0,060,0016 times 2,828 approx -105,88,N e lambda = 0,090,04 raiz2 approx 3,182,Wb ), substituindo na primeira expressão:
F = 2 times 0,040,0243 times (3,182)^3 approx 0,080,0243 times 32,223 approx 106,02,N
E usando a segunda expressão, precisaríamos conhecer . Se utilizarmos a relação com e :
Substituindo na força a partir da coenergia:
Portanto, a força eletromagnética é aproximadamente usando energia e usando coenergia.

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