Converta cada equação polar para cartesiana:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para converter a equação polar para a forma cartesiana. Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas polares ( ) e coordenadas cartesianas ( ). Precisaremos lembrar das fórmulas de conversão e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas:
Além disso, sabemos que:
Essas fórmulas vão nos ajudar a substituir e na equação.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da equação. Usando a identidade trigonométrica do ângulo duplo, temos:
Mas como queremos tudo em termos de e , podemos também expressar da seguinte forma:
Essa expressão vai facilitar a substituição na nossa equação original.

Passo 4

Agora, substituímos na equação polar:
Simplificando, temos:

Passo 5

Lembrando que , substituímos na equação:
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Expandindo o lado esquerdo:
Movendo todos os termos para um lado da equação:

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:

Exercícios relacionados

Toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida .
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:
а) ;
c) ;
b) ;
d) .
Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da circunferência de centro na origem e raio 3.
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(ii)