Converta cada equação polar para cartesiana:
  • r cos (2 theta)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para converter a equação polar para a forma cartesiana. Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas polares ( ) e coordenadas cartesianas ( ). Precisaremos lembrar das fórmulas de conversão e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, sabemos que:
r^2 = x^2 + y^2
Essas fórmulas vão nos ajudar a substituir e na equação.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte cos(2theta) = 2cos^2 theta - 1 da equação. Usando a identidade trigonométrica do ângulo duplo, temos:
cos(2theta) = x^2 - y^2r^2
Mas como queremos tudo em termos de e , podemos também expressar da seguinte forma:
Essa expressão vai facilitar a substituição na nossa equação original.

Passo 4

Agora, substituímos r cdot x^2 - y^2r^2 = 2 na equação polar:
x^2 - y^2r = 2
Simplificando, temos:

Passo 5

Lembrando que x^2 - y^2raizx^2 + y^2 = 2 , substituímos na equação:
( x^2 - y^2raizx^2 + y^2 )^2 = 2^2
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x^2 - y^2)^2x^2 + y^2 = 4

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por (x^2 - y^2)^2 = 4(x^2 + y^2) para simplificar:
x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = 4x^2 + 4y^2
Expandindo o lado esquerdo:
x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2 - 4y^2 = 0
Movendo todos os termos para um lado da equação:

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:
x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 4x^2 - 4y^2 = 0

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