Toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que qualquer matriz pode ser transformada, através de operações nas linhas, numa única matriz chamada de matriz escalonada reduzida . Isso está relacionado com álgebra linear, especificamente com operações elementares de linha e formas escalonadas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas operações e como aplicá-las para chegar na forma escalonada reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre equivalência por linhas. Duas matrizes são equivalentes por linhas se uma pode ser obtida a partir da outra usando uma sequência de operações elementares de linha, que são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam a solução do sistema linear associado à matriz, por isso são muito úteis.
Passo 3
Agora, a matriz escalonada reduzida é um tipo específico de matriz que tem algumas propriedades:
Todas as linhas nulas estão na parte de baixo.
O primeiro número n��o nulo de cada linha (chamado de “pivô”) está à direita do pivô da linha acima.
Cada pivô é igual a 1.
Cada pivô é o único número não nulo na sua coluna.
Essas características tornam a matriz fácil de resolver, já que cada pivô identifica uma variável básica.
Passo 4
Para mostrar que qualquer matriz pode ser transformada na forma escalonada reduzida , seguimos um processo chamado eliminação de Gauss-Jordan:
Identificamos o pivô na primeira coluna e o colocamos em 1 (se não for zero).
Usamos esse pivô para eliminar todos os outros elementos na sua coluna.
Repetimos o processo para as colunas seguintes, sempre garantindo que os pivôs estejam à direita dos anteriores.
Continuamos até que todas as possíveis linhas tenham pivôs e as demais posições satisfazem as condições da forma escalonada reduzida.
Passo 5
Por fim, mostramos que essa forma escalonada reduzida é única para cada matriz . Isso acontece porque as condições da forma escalonada reduzida não deixam espaço para variações: cada pivô deve estar em uma posição específica e ser único na coluna, o que determina exatamente onde cada elemento não nulo deve estar.
Resposta
Portanto, toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida .