Toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que qualquer matriz pode ser transformada, através de operações nas linhas, numa única matriz chamada de matriz escalonada reduzida . Isso está relacionado com álgebra linear, especificamente com operações elementares de linha e formas escalonadas de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são essas operações e como aplicá-las para chegar na forma escalonada reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre equivalência por linhas. Duas matrizes são equivalentes por linhas se uma pode ser obtida a partir da outra usando uma sequência de operações elementares de linha, que são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações não mudam a solução do sistema linear associado à matriz, por isso são muito úteis.

Passo 3

Agora, a matriz escalonada reduzida é um tipo específico de matriz que tem algumas propriedades:
  1. Todas as linhas nulas estão na parte de baixo.
  2. O primeiro número n��o nulo de cada linha (chamado de “pivô”) está à direita do pivô da linha acima.
  3. Cada pivô é igual a 1.
  4. Cada pivô é o único número não nulo na sua coluna.
Essas características tornam a matriz fácil de resolver, já que cada pivô identifica uma variável básica.

Passo 4

Para mostrar que qualquer matriz pode ser transformada na forma escalonada reduzida , seguimos um processo chamado eliminação de Gauss-Jordan:
  1. Identificamos o pivô na primeira coluna e o colocamos em 1 (se não for zero).
  2. Usamos esse pivô para eliminar todos os outros elementos na sua coluna.
  3. Repetimos o processo para as colunas seguintes, sempre garantindo que os pivôs estejam à direita dos anteriores.
  4. Continuamos até que todas as possíveis linhas tenham pivôs e as demais posições satisfazem as condições da forma escalonada reduzida.

Passo 5

Por fim, mostramos que essa forma escalonada reduzida é única para cada matriz . Isso acontece porque as condições da forma escalonada reduzida não deixam espaço para variações: cada pivô deve estar em uma posição específica e ser único na coluna, o que determina exatamente onde cada elemento não nulo deve estar.

Resposta

Portanto, toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida .

Exercícios relacionados

Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:
а) ;
c) ;
b) ;
d) .
Dada a matriz calcule
a) e
b) e
c)
Converta cada equação polar para cartesiana:
Dê as equações polares das seguintes curvas:
  • da circunferência de centro na origem e raio 3.