Se as coordenadas canônicas estão sujeitas as restrições
, mostre que as equações Hamilton ficam
onde
são multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Mecânica Hamiltoniana onde precisamos mostrar como as equações de Hamilton mudam quando existem restrições no sistema, representadas por
. O conteúdo aqui envolve equações de Hamilton e multiplicadores de Lagrange para lidar com essas restrições. Vamos precisar entender como adicionar essas restrições às equações de movimento usando os multiplicadores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as equações de Hamilton. Elas descrevem a evolução de um sistema físico em termos das coordenadas
e dos momentos
, e são dadas por:
Aqui,
é o Hamiltoniano do sistema, que geralmente representa a energia total.
Passo 3
Quando temos restrições no sistema, expressas por
, não podemos usar as equações de Hamilton diretamente porque as variáveis
e
não são todas independentes. Para lidar com isso, usamos os multiplicadores de Lagrange (
) que nos ajudam a incorporar essas restrições nas equações de movimento.
Passo 4
Para introduzir as restrições nas equações de Hamilton, modificamos o Hamiltoniano para incluir termos que envolvem as restrições multiplicadas pelos multiplicadores de Lagrange:
Agora, as novas equações de Hamilton serão derivadas a partir desse Hamiltoniano modificado
.
Passo 5
Vamos derivar as novas equações. Calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
As novas equações de Hamilton serão então:
Passo 7
Rearranjando as equações para ficarem no formato solicitado pelo exercício:
Resposta
Assim, mostramos que as equações de Hamilton com restrições são: