Se as coordenadas canônicas estão sujeitas as restrições psik(q, p, t)=0, mostre que as equações Hamilton ficam
partial Hpartial qi+sumk lambdak partial psikpartial qi=-dotpi, partial Hpartial pi+sumk lambdak partial psikpartial pi=dotqi
onde lambdak são multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Mecânica Hamiltoniana onde precisamos mostrar como as equações de Hamilton mudam quando existem restrições no sistema, representadas por . O conteúdo aqui envolve equações de Hamilton e multiplicadores de Lagrange para lidar com essas restrições. Vamos precisar entender como adicionar essas restrições às equações de movimento usando os multiplicadores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as equações de Hamilton. Elas descrevem a evolução de um sistema físico em termos das coordenadas dotqi = partial Hpartial pi e dotpi = -partial Hpartial qi e dos momentos , e são dadas por:
Aqui, é o Hamiltoniano do sistema, que geralmente representa a energia total.

Passo 3

Quando temos restrições no sistema, expressas por , não podemos usar as equações de Hamilton diretamente porque as variáveis e não são todas independentes. Para lidar com isso, usamos os multiplicadores de Lagrange ( ) que nos ajudam a incorporar essas restrições nas equações de movimento.

Passo 4

Para introduzir as restrições nas equações de Hamilton, modificamos o Hamiltoniano para incluir termos que envolvem as restrições multiplicadas pelos multiplicadores de Lagrange:
H' = H + sumk lambdak psik(q, p, t)
Agora, as novas equações de Hamilton serão derivadas a partir desse Hamiltoniano modificado .

Passo 5

Vamos derivar as novas equações. Calculando as derivadas parciais de partial H'partial qi = partial Hpartial qi + sumk lambdak partial psikpartial qi em relação a partial H'partial pi = partial Hpartial pi + sumk lambdak partial psikpartial pi e :
Para :
Para :

Passo 6

As novas equações de Hamilton serão então:
dotqi = partial H'partial pi = partial Hpartial pi + sumk lambdak partial psikpartial pi
dotpi = -partial H'partial qi = -partial Hpartial qi - sumk lambdak partial psikpartial qi

Passo 7

Rearranjando as equações para ficarem no formato solicitado pelo exercício:
partial Hpartial qi + sumk lambdak partial psikpartial qi = -dotpi
partial Hpartial pi + sumk lambdak partial psikpartial pi = dotqi

Resposta

Assim, mostramos que as equações de Hamilton com restrições são:
partial Hpartial qi+sumk lambdak partial psikpartial qi=-dotpi, partial Hpartial pi+sumk lambdak partial psikpartial pi=dotqi

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