Considere a Hamiltoniana H(q1, q2, p1, p2)=q1 p1-q2 p2-a q1^2+b q2^2. Prove que
F1=p2-b q2q1, F2=q1 q2, F3=q1 e^-t
são constantes de movimento. Obtenha uma quarta constante de movimento independente destas três e, usando-as, determine a solução das equações de movimento, isto é, q1(t), q2(t), p1(t), p2(t) em termos de quatro constantes arbitrárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Hamiltoniana . A gente precisa provar que as funções , e são constantes de movimento, encontrar uma quarta constante independente delas e, com isso, determinar as soluções das equações de movimento , , e . Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, como as equações de Hamilton e a noção de constantes de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função dFdt = partial Fpartial t + F, H = 0 é uma constante de movimento se a sua derivada total em relação ao tempo for zero:
F, H = partial Fpartial q1 partial Hpartial p1 - partial Fpartial p1 partial Hpartial q1 + partial Fpartial q2 partial Hpartial p2 - partial Fpartial p2 partial Hpartial q2
onde é o colchete de Poisson, definido por:
Vamos verificar se cada satisfaz .

Passo 3

Vamos começar com partial F1partial q1 = -p2 - b q2q1^2, partial F1partial p1 = 0, partial F1partial q2 = -bq1, partial F1partial p2 = 1q1 .
Calculando F1, H = (-p2 - b q2q1^2)(q1) - 0(-a cdot 2 q1) + (-bq1)(-q2) - 1q1( -b cdot 2 q2) , F1, H = -p2 - b q2q1 + b q2q1 + 2 b q2q1 = -p2q1 + b q2q1 + 2 b q2q1 = -p2q1 + 3 b q2q1 , F1, H = -F1 + 2 b q2q1 = -p2 - b q2q1 + 2 b q2q1 = -p2q1 + 3 b q2q1 , e :
Agora, calculamos :
Simplificando:
Mas , então:
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar os cálculos para garantir que . (Nota: Na verdade, para que seja constante de movimento, o cálculo de deve resultar em zero, indicando que a derivada temporal de é zero. Contudo, devido à complexidade dos cálculos, é mais prático seguir uma abordagem diferente para verificar a constância.)

Passo 4

Em vez de calcular diretamente o colchete de Poisson, vamos usar as equações de Hamilton para verificar se as derivadas temporais de dotqi = partial Hpartial pi, dotpi = -partial Hpartial qi , dotq1 = partial Hpartial p1 = q1, dotq2 = partial Hpartial p2 = -q2 e dotp1 = -partial Hpartial q1 = -p1 + 2 a q1, dotp2 = -partial Hpartial q2 = p2 - 2 b q2 são zero.
As equações de Hamilton são:
dF1dt = dotp2 - b dotq2q1 - (p2 - b q2) dotq1q1^2 = (p2 - 2 b q2) - b (-q2)q1 - (p2 - b q2) q1q1^2
Para nossa Hamiltoniana:
dF1dt = p2 - 2 b q2 + b q2q1 - p2 - b q2q1 = p2 - b q2q1 - p2 - b q2q1 = 0
Agora, vamos calcular as derivadas temporais de , e :
Para :
Simplificando:
Então, é constante de movimento.

Passo 5

Para dF2dt = dotq1 q2 + q1 dotq2 = q1 cdot q2 + q1 cdot (-q2) = 0 :
Então, também é constante de movimento.

Passo 6

Para dF3dt = dotq1 e^-t + q1 (-e^-t) = q1 e^-t - q1 e^-t = 0 :
Portanto, também é uma constante de movimento.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma quarta constante de movimento F4 = p1 + a q1 que seja independente das três anteriores. Observando as expressões, podemos tentar combinar as variáveis de uma forma que não dependa de dF4dt = dotp1 + a dotq1 = (-p1 + 2 a q1) + a q1 = -p1 + 3 a q1 , F4 = H = q1 p1 - q2 p2 - a q1^2 + b q2^2 e dHdt = partial Hpartial t + H, H = 0 + 0 = 0 . Vamos definir:
Vamos verificar se é constante de movimento:
Para que seja constante, precisamos que , o que não é necessariamente verdadeiro. Então, essa tentativa não funcionou. Vamos tentar outra abordagem.
Vamos considerar a energia total, que é uma constante de movimento em sistemas autônomos (sem depend��ncia explícita do tempo na Hamiltoniana). A energia é dada pela Hamiltoniana :
Vamos verificar se é constante de movimento:
Então, é uma constante de movimento e é independente de , e .

Passo 8

Agora que temos quatro constantes de movimento F1 = p2 - b q2q1, F2 = q1 q2, F3 = q1 e^-t, F4 = q1 p1 - q2 p2 - a q1^2 + b q2^2 , , e , podemos usar essas relações para encontrar as soluções das equações de movimento.
Temos:
Vamos resolver essas equações para encontrar , , e .

Passo 9

Primeiro, de q1(t) = F3 e^t , podemos isolar q2(t) = F2q1(t) = F2F3 e^t = F2F3 e^-t :
F1 = p2 - b q2q1 Rightarrow p2 = F1 q1 + b q2 = F1 F3 e^t + b cdot F2F3 e^-t
Agora, usando H = q1 p1 - q2 p2 - a q1^2 + b q2^2 = F4 , substituímos F3 e^t cdot p1 - (F2F3 e^-t) (F1 F3 e^t + b cdot F2F3 e^-t) - a (F3 e^t)^2 + b (F2F3 e^-t)^2 = F4 :
F3 e^t p1 - (F1 F2 + b F2^2F3^2 e^-2t) - a F3^2 e^2t + b F2^2F3^2 e^-2t = F4
Agora, conhecendo F3 e^t p1 - F1 F2 - a F3^2 e^2t = F4 e p1(t) = F4 + F1 F2 + a F3^2 e^2tF3 e^t = F4 + F1 F2F3 e^t + a F3 e^t , podemos encontrar usando :
Finalmente, para encontrar , usamos a Hamiltoniana :
Substituindo , e :
Simplificando:
Notando que os termos com se cancelam:
Isolando :

Resposta

As soluções das equações de movimento são dadas por:
q1(t) = F3 e^t
q2(t) = F2F3 e^-t
p2(t) = F1 F3 e^t + b F2F3 e^-t
onde p1(t) = F4 + F1 F2F3 e^t + a F3 e^t , , e são constantes arbitrárias de movimento.

Exercícios relacionados