Considere a Hamiltoniana
. Prove que
são constantes de movimento. Obtenha uma quarta constante de movimento independente destas três e, usando-as, determine a solução das equações de movimento, isto é,
em termos de quatro constantes arbitrárias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Hamiltoniana
. A gente precisa provar que as funções
,
e
são constantes de movimento, encontrar uma quarta constante independente delas e, com isso, determinar as soluções das equações de movimento
,
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, como as equações de Hamilton e a noção de constantes de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é uma constante de movimento se a sua derivada total em relação ao tempo for zero:
onde
é o colchete de Poisson, definido por:
Vamos verificar se cada
satisfaz
.
Passo 3
Vamos começar com
.
Calculando
,
,
, e
:
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Mas
, então:
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar os cálculos para garantir que
. (Nota: Na verdade, para que
seja constante de movimento, o cálculo de
deve resultar em zero, indicando que a derivada temporal de
é zero. Contudo, devido à complexidade dos cálculos, é mais prático seguir uma abordagem diferente para verificar a constância.)
Passo 4
Em vez de calcular diretamente o colchete de Poisson, vamos usar as equações de Hamilton para verificar se as derivadas temporais de
,
e
são zero.
As equações de Hamilton são:
Para nossa Hamiltoniana:
Agora, vamos calcular as derivadas temporais de
,
e
:
Para
:
Simplificando:
Então,
é constante de movimento.
Passo 5
Para
:
Então,
também é constante de movimento.
Passo 6
Para
:
Portanto,
também é uma constante de movimento.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma quarta constante de movimento
que seja independente das três anteriores. Observando as expressões, podemos tentar combinar as variáveis de uma forma que não dependa de
,
e
. Vamos definir:
Vamos verificar se
é constante de movimento:
Para que
seja constante, precisamos que
, o que não é necessariamente verdadeiro. Então, essa tentativa não funcionou. Vamos tentar outra abordagem.
Vamos considerar a energia total, que é uma constante de movimento em sistemas autônomos (sem depend��ncia explícita do tempo na Hamiltoniana). A energia é dada pela Hamiltoniana
:
Vamos verificar se
é constante de movimento:
Então,
é uma constante de movimento e é independente de
,
e
.
Passo 8
Agora que temos quatro constantes de movimento
,
,
e
, podemos usar essas relações para encontrar as soluções das equações de movimento.
Temos:
Vamos resolver essas equações para encontrar
,
,
e
.
Passo 9
Primeiro, de
, podemos isolar
:
Agora, usando
, substituímos
:
Agora, conhecendo
e
, podemos encontrar
usando
:
Finalmente, para encontrar
, usamos a Hamiltoniana
:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Notando que os termos com
se cancelam:
Isolando
:
Resposta
As soluções das equações de movimento são dadas por:
onde
,
,
e
são constantes arbitrárias de movimento.
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, mostre que as equações Hamilton ficam
onde
são multiplicadores de Lagrange.
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e
, respectivamente. Determine a variação da área do jato com a elevação.
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