Considere a Hamiltoniana . Prove que
são constantes de movimento. Obtenha uma quarta constante de movimento independente destas três e, usando-as, determine a solução das equações de movimento, isto é, em termos de quatro constantes arbitrárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Hamiltoniana . A gente precisa provar que as funções , e são constantes de movimento, encontrar uma quarta constante independente delas e, com isso, determinar as soluções das equações de movimento , , e . Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, como as equações de Hamilton e a noção de constantes de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é uma constante de movimento se a sua derivada total em relação ao tempo for zero:
onde é o colchete de Poisson, definido por:
Vamos verificar se cada satisfaz .

Passo 3

Vamos começar com .
Calculando , , , e :
Agora, calculamos :
Simplificando:
Mas , então:
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar os cálculos para garantir que . (Nota: Na verdade, para que seja constante de movimento, o cálculo de deve resultar em zero, indicando que a derivada temporal de é zero. Contudo, devido à complexidade dos cálculos, é mais prático seguir uma abordagem diferente para verificar a constância.)

Passo 4

Em vez de calcular diretamente o colchete de Poisson, vamos usar as equações de Hamilton para verificar se as derivadas temporais de , e são zero.
As equações de Hamilton são:
Para nossa Hamiltoniana:
Agora, vamos calcular as derivadas temporais de , e :
Para :
Simplificando:
Então, é constante de movimento.

Passo 5

Para :
Então, também é constante de movimento.

Passo 6

Para :
Portanto, também é uma constante de movimento.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma quarta constante de movimento que seja independente das três anteriores. Observando as expressões, podemos tentar combinar as variáveis de uma forma que não dependa de , e . Vamos definir:
Vamos verificar se é constante de movimento:
Para que seja constante, precisamos que , o que não é necessariamente verdadeiro. Então, essa tentativa não funcionou. Vamos tentar outra abordagem.
Vamos considerar a energia total, que é uma constante de movimento em sistemas autônomos (sem depend��ncia explícita do tempo na Hamiltoniana). A energia é dada pela Hamiltoniana :
Vamos verificar se é constante de movimento:
Então, é uma constante de movimento e é independente de , e .

Passo 8

Agora que temos quatro constantes de movimento , , e , podemos usar essas relações para encontrar as soluções das equações de movimento.
Temos:
Vamos resolver essas equações para encontrar , , e .

Passo 9

Primeiro, de , podemos isolar :
Agora, usando , substituímos :
Agora, conhecendo e , podemos encontrar usando :
Finalmente, para encontrar , usamos a Hamiltoniana :
Substituindo , e :
Simplificando:
Notando que os termos com se cancelam:
Isolando :

Resposta

As soluções das equações de movimento são dadas por:
onde , , e são constantes arbitrárias de movimento.

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