Água escoa a partir de um tanque muito grande através de um tubo de 5 cm de diâmetro. O líquido no manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no tubo e a vazão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre água escoando de um tanque enorme através de um tubo de 5 cm de diâmetro, e usa um manômetro com mercúrio para medir a pressão. Nosso objetivo aqui é estimar a velocidade da água no tubo e a vazão (quanto de água está passando por esse tubo por unidade de tempo). Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Equação de Bernoulli e a Equação da Continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação da Continuidade, que nos diz que, em um fluxo incompressível (como a água), o produto da área da seção e a velocidade do fluxo é constante. Isso significa que se o tubo tem uma área específica, a velocidade da água está diretamente relacionada a essa área.
A área
de um tubo circular é dada por:
onde
é o raio do tubo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em movimento. Como o tanque é muito grande, podemos assumir que a velocidade da água na superfície do tanque é praticamente zero. Portanto, a equação simplifica para relacionar a pressão no tanque com a pressão no tubo.
A equação de Bernoulli simplificada fica:
onde:
-
é a pressão no tanque, -
é a densidade da água, -
é a velocidade da água no tubo, -
é a pressão atmosférica.
Passo 4
Como o manômetro usa mercúrio, a diferença de altura
no manômetro está relacionada à diferença de pressão devido ao fluxo da água. A diferença de pressão é dada por:
onde:
-
é a densidade do mercúrio, -
é a aceleração da gravidade, -
é a diferença de altura no manômetro.
Essa diferença de pressão
é igual à pressão causada pelo fluxo da água:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos a velocidade
, podemos calcular a vazão
usando a Equação da Continuidade:
onde
é a área da seção transversal do tubo.
Calculando a área do tubo:
Resposta
A velocidade da água no tubo é dada por:
E a vazão é:
Para obter valores numéricos específicos, precisamos saber a diferença de altura
no manômetro.