Água escoa a partir de um tanque muito grande através de um tubo de 5 cm de diâmetro. O líquido no manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no tubo e a vazão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre água escoando de um tanque enorme através de um tubo de 5 cm de diâmetro, e usa um manômetro com mercúrio para medir a pressão. Nosso objetivo aqui é estimar a velocidade da água no tubo e a vazão (quanto de água está passando por esse tubo por unidade de tempo). Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Equação de Bernoulli e a Equação da Continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação da Continuidade, que nos diz que, em um fluxo incompressível (como a água), o produto da área da seção e a velocidade do fluxo é constante. Isso significa que se o tubo tem uma área específica, a velocidade da água está diretamente relacionada a essa área.
A área de um tubo circular é dada por:
onde é o raio do tubo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em movimento. Como o tanque é muito grande, podemos assumir que a velocidade da água na superfície do tanque é praticamente zero. Portanto, a equação simplifica para relacionar a pressão no tanque com a pressão no tubo.
A equação de Bernoulli simplificada fica:
onde:
  • é a pressão no tanque,
  • é a densidade da água,
  • é a velocidade da água no tubo,
  • é a pressão atmosférica.

Passo 4

Como o manômetro usa mercúrio, a diferença de altura no manômetro está relacionada à diferença de pressão devido ao fluxo da água. A diferença de pressão é dada por:
onde:
  • é a densidade do mercúrio,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a diferença de altura no manômetro.
Essa diferença de pressão é igual à pressão causada pelo fluxo da água:
á

Passo 5

Igualando as duas expressões para :
á
Resolvendo para :
á

Passo 6

Agora que temos a velocidade , podemos calcular a vazão usando a Equação da Continuidade:
onde é a área da seção transversal do tubo.
Calculando a área do tubo:

Resposta

A velocidade da água no tubo é dada por:
á
E a vazão é:
Para obter valores numéricos específicos, precisamos saber a diferença de altura no manômetro.

Exercícios relacionados

Considere a Hamiltoniana . Prove que
são constantes de movimento. Obtenha uma quarta constante de movimento independente destas três e, usando-as, determine a solução das equações de movimento, isto é, em termos de quatro constantes arbitrárias.
Se as coordenadas canônicas estão sujeitas as restrições , mostre que as equações Hamilton ficam
onde são multiplicadores de Lagrange.
Água escoa em um tanque muito grande através de um tubo de 2 in de diâmetro. O líquido escuro no manômetro é mercúrio. Estime a velocidade no tubo e a vazão de descarga.
O nivel da água em um tanque é de 20 m acima do solo. Uma mangueira está conectada à parte inferior do tanque, e o bocal no final da mangueira aponta diretamente para cima. O tanque está no nível do mar e a superfície da água é aberta para a atmosfera. Na tubulaçāo que vai do tanque até o bocal há uma bomba que aumenta a pressão da água. Se o jato de água subir até uma altura de 27 m do solo, determine a elevação mínima de pressão fornecida pela bomba para tubulação d