Dê as coordenadas polares dos seguintes pontos do plano cartesiano
cll (i) P1(raiz2,-raiz2) & (ii) P2(0,5) & (iii) P3(2,2 raiz3) (iv) P4(-2,2) & (v) P5(7,0) & (vi) P6(-1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para transformar coordenadas cartesianas em coordenadas polares. A matéria envolvida aqui é sobre sistemas de coordenadas no plano, especificamente a conversão entre os sistemas cartesiano e polar. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam as coordenadas e com o raio e o ângulo na coordenada polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas que usamos para converter de coordenadas cartesianas r = raizx^2 + y^2 para coordenadas polares theta = arctan(yx) :
O representa a distância do ponto até a origem, e é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo .

Passo 3

Vamos começar com o primeiro ponto: r = raiz(raiz2)^2 + (-raiz2)^2 = raiz2 + 2 = raiz4 = 2 .
Calculando theta = arctan(-raiz2raiz2) = arctan(-1) = -pi4 radianos :
theta = 7pi4 radianos
Calculando :
Como deve estar entre e , adicionamos :
Então, as coordenadas polares de são .

Passo 4

Agora, vamos para o segundo ponto: r = raiz0^2 + 5^2 = raiz25 = 5 .
Calculando :
Calculando :
Como e , o ângulo é radianos.
Então, as coordenadas polares de são .

Passo 5

Vamos para o terceiro ponto: r = raiz2^2 + (2raiz3)^2 = raiz4 + 12 = raiz16 = 4 .
Calculando theta = arctan(2raiz32) = arctan(raiz3) = pi3 radianos :
Calculando :
Então, as coordenadas polares de são .

Passo 6

Vamos para o quarto ponto: r = raiz(-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 .
Calculando theta = arctan(2-2) = arctan(-1) = -pi4 radianos :
theta = 3pi4 radianos
Calculando :
Como o ponto está no segundo quadrante, adicionamos :
Então, as coordenadas polares de são .

Passo 7

Vamos para o quinto ponto: r = raiz7^2 + 0^2 = raiz49 = 7 .
Calculando :
Calculando :
Como e , o ângulo é radianos.
Então, as coordenadas polares de são .

Passo 8

Finalmente, vamos para o sexto ponto: r = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 .
Calculando theta = arctan(-1-1) = arctan(1) = pi4 radianos :
theta = 5pi4 radianos
Calculando :
Como o ponto está no terceiro quadrante, adicionamos :
Então, as coordenadas polares de são .

Resposta

As coordenadas polares dos pontos são:
ll (i) P1 = (2, dfrac7pi4) (ii) P2 = (5, dfracpi2) (iii) P3 = (4, dfracpi3) (iv) P4 = (2raiz2, dfrac3pi4) (v) P5 = (7, 0) (vi) P6 = (raiz2, dfrac5pi4)

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