Dada a matriz
calcule
a)
tildeA23 e
tildeA42
b)
tildea14 e
tildea31
c)
det(A)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para trabalharmos com uma matriz específica
e calcular alguns cofatores, menores e o determinante dessa matriz. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes, menores, cofatores e determinantes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a matriz
A = 2 & 3 & 1 & -2 5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 2 & 2 3 & -1 & -2 & 4 que nos foi dada:
Passo 3
a) Calculando
tildeAij = (-1)^i+j cdot Mij e
:
Aqui,
representa o cofator da matriz
na posição
. O cofator é dado por:
onde
é o menor da matriz, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha
e a coluna
.
Passo 4
Calculando
2 & 3 & -2 0 & 1 & 2 3 & -1 & 4 :
Vamos encontrar o cofator na posição
M23 = 2 cdot 1 & 2 -1 & 4 - 3 cdot 0 & 2 3 & 4 + (-2) cdot 0 & 1 3 & -1 .
- Remover a 2ª linha e a 3ª coluna:
- Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:
- Aplicar a fórmula do cofator:
Passo 5
Calculando
2 & 1 & -2 5 & 1 & 4 0 & 2 & 2 :
Agora, vamos encontrar o cofator na posição
M42 = 2 cdot 1 & 4 2 & 2 - 1 cdot 5 & 4 0 & 2 + (-2) cdot 5 & 1 0 & 2 .
- Remover a 4ª linha e a 2ª coluna:
- Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:
- Aplicar a fórmula do cofator:
Passo 6
b) Calculando
e
:
Aqui,
representa o menor da matriz
na posição
, que é simplesmente o determinante da matriz formada removendo a linha
e a coluna
.
Passo 7
Calculando
5 & 3 & 1 0 & 1 & 2 3 & -1 & -2 :
Vamos encontrar o menor na posição
tildea14 = 5 cdot 1 & 2 -1 & -2 - 3 cdot 0 & 2 3 & -2 + 1 cdot 0 & 1 3 & -1 .
- Remover a 1ª linha e a 4ª coluna:
- Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:
Passo 8
Calculando
3 & 1 & -2 3 & 1 & 4 -1 & -2 & 4 :
Vamos encontrar o menor na posição
tildea31 = 3 cdot 1 & 4 -2 & 4 - 1 cdot 3 & 4 -1 & 4 + (-2) cdot 3 & 1 -1 & -2 .
- Remover a 3ª linha e a 1ª coluna:
- Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:
Passo 9
c) Calculando
det(A) = 2 cdot tildeA11 - 3 cdot tildeA12 + 1 cdot tildeA13 - 2 cdot tildeA14 :
O determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado usando a expansão por cofatores. Vamos escolher a primeira linha para facilitar.
Vamos calcular cada cofator necessário:
- Calculando
:tildeA11 = 3 & 1 & 4 1 & 2 & 2 -1 & -2 & 4 = 3(2 cdot 4 - 2 cdot -2) - 1(1 cdot 4 - 2 cdot -1) + 4(1 cdot -2 - 2 cdot -1) = 3(8 + 4) - 1(4 + 2) + 4(-2 + 2) = 3 cdot 12 - 1 cdot 6 + 4 cdot 0 = 36 - 6 + 0 = 30
Remover a 1ª linha e a 1ª coluna:
Calcular o determinante:
- Calculando
:5 & 3 & 4 0 & 1 & 2 3 & -1 & 4
Remover a 1ª linha e a 2ª coluna:
Calcular o determinante:
- Calculando
:tildeA14 = 5 & 3 & 1 0 & 1 & 2 3 & -1 & -2 = 5(1 cdot -2 - 2 cdot -1) - 3(0 cdot -2 - 2 cdot 3) + 1(0 cdot -1 - 1 cdot 3) = 5(-2 + 2) - 3(0 - 6) + 1(0 - 3) = 5 cdot 0 - 3 cdot (-6) + 1 cdot (-3) = 0 + 18 - 3 = 15
Remover a 1ª linha e a 3ª coluna:
Calcular o determinante:
- Calculando
:
Remover a 1ª linha e a 4ª coluna:
Calcular o determinante:
- Agora, substituindo na fórmula do determinante:
Resposta
a)
e
b)
e
c)