Dada a matriz A=(cccc2 & 3 & 1 & -2 5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 2 & 2 3 & -1 & -2 & 4) calcule
a) tildeA23 e tildeA42
b) tildea14 e tildea31
c) det(A)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para trabalharmos com uma matriz específica e calcular alguns cofatores, menores e o determinante dessa matriz. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes, menores, cofatores e determinantes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz A = 2 & 3 & 1 & -2 5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 2 & 2 3 & -1 & -2 & 4 que nos foi dada:

Passo 3

a) Calculando tildeAij = (-1)^i+j cdot Mij e :
Aqui, representa o cofator da matriz na posição . O cofator é dado por:
onde é o menor da matriz, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 4

Calculando 2 & 3 & -2 0 & 1 & 2 3 & -1 & 4 :
Vamos encontrar o cofator na posição M23 = 2 cdot 1 & 2 -1 & 4 - 3 cdot 0 & 2 3 & 4 + (-2) cdot 0 & 1 3 & -1 .
  1. Remover a 2ª linha e a 3ª coluna:
1 & 2 -1 & 4 = (1 cdot 4) - (2 cdot -1) = 4 + 2 = 6
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
0 & 2 3 & 4 = (0 cdot 4) - (2 cdot 3) = 0 - 6 = -6
Calculando cada determinante menor:
0 & 1 3 & -1 = (0 cdot -1) - (1 cdot 3) = 0 - 3 = -3
M23 = 2 cdot 6 - 3 cdot (-6) + (-2) cdot (-3) = 12 + 18 + 6 = 36
tildeA23 = (-1)^2+3 cdot 36 = (-1)^5 cdot 36 = -36
Agora, substituindo:
  1. Aplicar a fórmula do cofator:

Passo 5

Calculando 2 & 1 & -2 5 & 1 & 4 0 & 2 & 2 :
Agora, vamos encontrar o cofator na posição M42 = 2 cdot 1 & 4 2 & 2 - 1 cdot 5 & 4 0 & 2 + (-2) cdot 5 & 1 0 & 2 .
  1. Remover a 4ª linha e a 2ª coluna:
1 & 4 2 & 2 = (1 cdot 2) - (4 cdot 2) = 2 - 8 = -6
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
5 & 4 0 & 2 = (5 cdot 2) - (4 cdot 0) = 10 - 0 = 10
Calculando cada determinante menor:
5 & 1 0 & 2 = (5 cdot 2) - (1 cdot 0) = 10 - 0 = 10
M42 = 2 cdot (-6) - 1 cdot 10 + (-2) cdot 10 = -12 - 10 - 20 = -42
tildeA42 = (-1)^4+2 cdot (-42) = (-1)^6 cdot (-42) = 1 cdot (-42) = -42
Agora, substituindo:
  1. Aplicar a fórmula do cofator:

Passo 6

b) Calculando e :
Aqui, representa o menor da matriz na posição , que é simplesmente o determinante da matriz formada removendo a linha e a coluna .

Passo 7

Calculando 5 & 3 & 1 0 & 1 & 2 3 & -1 & -2 :
Vamos encontrar o menor na posição tildea14 = 5 cdot 1 & 2 -1 & -2 - 3 cdot 0 & 2 3 & -2 + 1 cdot 0 & 1 3 & -1 .
  1. Remover a 1ª linha e a 4ª coluna:
1 & 2 -1 & -2 = (1 cdot -2) - (2 cdot -1) = -2 + 2 = 0
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
0 & 2 3 & -2 = (0 cdot -2) - (2 cdot 3) = 0 - 6 = -6
Calculando cada determinante menor:
0 & 1 3 & -1 = (0 cdot -1) - (1 cdot 3) = 0 - 3 = -3
tildea14 = 5 cdot 0 - 3 cdot (-6) + 1 cdot (-3) = 0 + 18 - 3 = 15
Agora, substituindo:

Passo 8

Calculando 3 & 1 & -2 3 & 1 & 4 -1 & -2 & 4 :
Vamos encontrar o menor na posição tildea31 = 3 cdot 1 & 4 -2 & 4 - 1 cdot 3 & 4 -1 & 4 + (-2) cdot 3 & 1 -1 & -2 .
  1. Remover a 3ª linha e a 1ª coluna:
1 & 4 -2 & 4 = (1 cdot 4) - (4 cdot -2) = 4 + 8 = 12
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
3 & 4 -1 & 4 = (3 cdot 4) - (4 cdot -1) = 12 + 4 = 16
Calculando cada determinante menor:
3 & 1 -1 & -2 = (3 cdot -2) - (1 cdot -1) = -6 + 1 = -5
tildea31 = 3 cdot 12 - 1 cdot 16 + (-2) cdot (-5) = 36 - 16 + 10 = 30
Agora, substituindo:

Passo 9

c) Calculando det(A) = 2 cdot tildeA11 - 3 cdot tildeA12 + 1 cdot tildeA13 - 2 cdot tildeA14 :
O determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado usando a expansão por cofatores. Vamos escolher a primeira linha para facilitar.
3 & 1 & 4 1 & 2 & 2 -1 & -2 & 4
Vamos calcular cada cofator necessário:
  1. Calculando tildeA11 = 3 & 1 & 4 1 & 2 & 2 -1 & -2 & 4 = 3(2 cdot 4 - 2 cdot -2) - 1(1 cdot 4 - 2 cdot -1) + 4(1 cdot -2 - 2 cdot -1) = 3(8 + 4) - 1(4 + 2) + 4(-2 + 2) = 3 cdot 12 - 1 cdot 6 + 4 cdot 0 = 36 - 6 + 0 = 30 :
Remover a 1ª linha e a 1ª coluna:
5 & 1 & 4 0 & 2 & 2 3 & -2 & 4
Calcular o determinante:
tildeA12 = 5 & 1 & 4 0 & 2 & 2 3 & -2 & 4 = 5(2 cdot 4 - 2 cdot -2) - 1(0 cdot 4 - 2 cdot 3) + 4(0 cdot -2 - 2 cdot 3) = 5(8 + 4) - 1(0 - 6) + 4(0 - 6) = 5 cdot 12 - 1 cdot (-6) + 4 cdot (-6) = 60 + 6 - 24 = 42
  1. Calculando 5 & 3 & 4 0 & 1 & 2 3 & -1 & 4 :
Remover a 1ª linha e a 2ª coluna:
tildeA13 = 5 & 3 & 4 0 & 1 & 2 3 & -1 & 4 = 5(1 cdot 4 - 2 cdot -1) - 3(0 cdot 4 - 2 cdot 3) + 4(0 cdot -1 - 1 cdot 3) = 5(4 + 2) - 3(0 - 6) + 4(0 - 3) = 5 cdot 6 - 3 cdot (-6) + 4 cdot (-3) = 30 + 18 - 12 = 36
Calcular o determinante:
5 & 3 & 1 0 & 1 & 2 3 & -1 & -2
  1. Calculando tildeA14 = 5 & 3 & 1 0 & 1 & 2 3 & -1 & -2 = 5(1 cdot -2 - 2 cdot -1) - 3(0 cdot -2 - 2 cdot 3) + 1(0 cdot -1 - 1 cdot 3) = 5(-2 + 2) - 3(0 - 6) + 1(0 - 3) = 5 cdot 0 - 3 cdot (-6) + 1 cdot (-3) = 0 + 18 - 3 = 15 :
Remover a 1ª linha e a 3ª coluna:
det(A) = 2 cdot 30 - 3 cdot 42 + 1 cdot 36 - 2 cdot 15 = 60 - 126 + 36 - 30 = -60
Calcular o determinante:
  1. Calculando :
Remover a 1ª linha e a 4ª coluna:
Calcular o determinante:
  1. Agora, substituindo na fórmula do determinante:

Resposta

a) e
b) e
c)

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