Dada a matriz calcule
a) e
b) e
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para trabalharmos com uma matriz específica e calcular alguns cofatores, menores e o determinante dessa matriz. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre matrizes, menores, cofatores e determinantes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz que nos foi dada:

Passo 3

a) Calculando e :
Aqui, representa o cofator da matriz na posição . O cofator é dado por:
onde é o menor da matriz, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 4

Calculando :
Vamos encontrar o cofator na posição .
  1. Remover a 2ª linha e a 3ª coluna:
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:
  1. Aplicar a fórmula do cofator:

Passo 5

Calculando :
Agora, vamos encontrar o cofator na posição .
  1. Remover a 4ª linha e a 2ª coluna:
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:
  1. Aplicar a fórmula do cofator:

Passo 6

b) Calculando e :
Aqui, representa o menor da matriz na posição , que é simplesmente o determinante da matriz formada removendo a linha e a coluna .

Passo 7

Calculando :
Vamos encontrar o menor na posição .
  1. Remover a 1ª linha e a 4ª coluna:
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:

Passo 8

Calculando :
Vamos encontrar o menor na posição .
  1. Remover a 3ª linha e a 1ª coluna:
  1. Calcular o determinante dessa matriz 3x3:
Calculando cada determinante menor:
Agora, substituindo:

Passo 9

c) Calculando :
O determinante de uma matriz 4x4 pode ser calculado usando a expansão por cofatores. Vamos escolher a primeira linha para facilitar.
Vamos calcular cada cofator necessário:
  1. Calculando :
Remover a 1ª linha e a 1ª coluna:
Calcular o determinante:
  1. Calculando :
Remover a 1ª linha e a 2ª coluna:
Calcular o determinante:
  1. Calculando :
Remover a 1ª linha e a 3ª coluna:
Calcular o determinante:
  1. Calculando :
Remover a 1ª linha e a 4ª coluna:
Calcular o determinante:
  1. Agora, substituindo na fórmula do determinante:

Resposta

a) e
b) e
c)

Exercícios relacionados

Dê as coordenadas polares dos seguintes pontos do plano cartesiano
Dadas as matrizes
Prove que é a inversa de .
Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:
а) ;
c) ;
b) ;
d) .
Toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida .