Dadas as matrizes
A=[cccc 1 & 2 & 0 & 1 -1 & -3 & 0 & 1 3 & 6 & 1 & 3 2 & 4 & 0 & 3 ] B=[cccc 13 & 2 & 0 & -5 -5 & -1 & 0 & 2 -3 & 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 0 & 1 ]
Prove que B é a inversa de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, e , e pede para provar que é a inversa de . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e suas inversas, um tópico da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversa de outra e como verificar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é matriz inversa. Uma matriz A times B = I e B times A = I é inversa de se, quando a multiplicamos, o resultado for a matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições. Ou seja, precisamos mostrar que:
Mas, na maioria das vezes, basta verificar uma das duas igualdades para provar que é a inversa de .

Passo 3

Vamos começar multiplicando A = 1 & 2 & 0 & 1 -1 & -3 & 0 & 1 3 & 6 & 1 & 3 2 & 4 & 0 & 3 e B = 13 & 2 & 0 & -5 -5 & -1 & 0 & 2 -3 & 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 0 & 1 por . A multiplicação de matrizes envolve somar os produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de . Vamos calcular cada elemento da matriz resultante .
As matrizes são:

Passo 4

Vamos calcular cada elemento de C11 = (1)(13) + (2)(-5) + (0)(-3) + (1)(-2) = 13 - 10 + 0 - 2 = 1 :
C12 = (1)(2) + (2)(-1) + (0)(0) + (1)(0) = 2 - 2 + 0 + 0 = 0
C13 = (1)(0) + (2)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
C14 = (1)(-5) + (2)(2) + (0)(0) + (1)(1) = -5 + 4 + 0 + 1 = 0
C21 = (-1)(13) + (-3)(-5) + (0)(-3) + (1)(-2) = -13 + 15 + 0 - 2 = 0
Agora, a segunda linha:
C22 = (-1)(2) + (-3)(-1) + (0)(0) + (1)(0) = -2 + 3 + 0 + 0 = 1
C23 = (-1)(0) + (-3)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
C24 = (-1)(-5) + (-3)(2) + (0)(0) + (1)(1) = 5 - 6 + 0 + 1 = 0
C31 = (3)(13) + (6)(-5) + (1)(-3) + (3)(-2) = 39 - 30 - 3 - 6 = 0
Terceira linha:
C32 = (3)(2) + (6)(-1) + (1)(0) + (3)(0) = 6 - 6 + 0 + 0 = 0
C33 = (3)(0) + (6)(0) + (1)(1) + (3)(0) = 0 + 0 + 1 + 0 = 1
C34 = (3)(-5) + (6)(2) + (1)(0) + (3)(1) = -15 + 12 + 0 + 3 = 0
C41 = (2)(13) + (4)(-5) + (0)(-3) + (3)(-2) = 26 - 20 + 0 - 6 = 0
Quarta linha:
C42 = (2)(2) + (4)(-1) + (0)(0) + (3)(0) = 4 - 4 + 0 + 0 = 0
C43 = (2)(0) + (4)(0) + (0)(1) + (3)(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
C44 = (2)(-5) + (4)(2) + (0)(0) + (3)(1) = -10 + 8 + 0 + 3 = 1
C = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Então, a matriz resultante é:

Passo 5

Observamos que A times B = I é exatamente a matriz identidade . Isso significa que:
Para ser completa, normalmente verificaríamos também se , mas como já obtivemos a identidade, já podemos concluir.

Resposta

Como , mostramos que é a inversa de . Portanto, é a inversa de .

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