Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, e , e pede para provar que é a inversa de . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e suas inversas, um tópico da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversa de outra e como verificar isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é matriz inversa. Uma matriz é inversa de se, quando a multiplicamos, o resultado for a matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições. Ou seja, precisamos mostrar que:
Mas, na maioria das vezes, basta verificar uma das duas igualdades para provar que é a inversa de .
Passo 3
Vamos começar multiplicando por . A multiplicação de matrizes envolve somar os produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de . Vamos calcular cada elemento da matriz resultante .
As matrizes são:
Passo 4
Vamos calcular cada elemento de :
Agora, a segunda linha:
Terceira linha:
Quarta linha:
Então, a matriz resultante é:
Passo 5
Observamos que é exatamente a matriz identidade. Isso significa que:
Para ser completa, normalmente verificaríamos também se , mas como já obtivemos a identidade, já podemos concluir.
Resposta
Como , mostramos que é a inversa de . Portanto, é a inversa de .