Dadas as matrizes
Prove que é a inversa de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes, e , e pede para provar que é a inversa de . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e suas inversas, um tópico da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversa de outra e como verificar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é matriz inversa. Uma matriz é inversa de se, quando a multiplicamos, o resultado for a matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1s na diagonal principal e 0s nas outras posições. Ou seja, precisamos mostrar que:
Mas, na maioria das vezes, basta verificar uma das duas igualdades para provar que é a inversa de .

Passo 3

Vamos começar multiplicando por . A multiplicação de matrizes envolve somar os produtos dos elementos das linhas de pelas colunas de . Vamos calcular cada elemento da matriz resultante .
As matrizes são:

Passo 4

Vamos calcular cada elemento de :
Agora, a segunda linha:
Terceira linha:
Quarta linha:
Então, a matriz resultante é:

Passo 5

Observamos que é exatamente a matriz identidade . Isso significa que:
Para ser completa, normalmente verificaríamos também se , mas como já obtivemos a identidade, já podemos concluir.

Resposta

Como , mostramos que é a inversa de . Portanto, é a inversa de .

Exercícios relacionados

As matrizes seguintes são as matrizes elementares :
Considere o espaço , com o produto interno usual. Calcule o produto interno de e .
Dê as coordenadas polares dos seguintes pontos do plano cartesiano
Dada a matriz calcule
a) e
b) e
c)