Um copo em forma de cone deve conter de água. Encontrar a altura e o raio do copo que requer menor quantidade de material para fabricá-lo.
Passo 1
Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar a altura e o raio de um copo em forma de cone que contenha 500 cm³ de água e que use a menor quantidade de material possível. Isso envolve conceitos de geometria e otimização, onde vamos usar fórmulas de volume e área de superfícies para determinar as medidas ideais do copo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cone é dado pela fórmula:
Onde:
é o raio da base do cone.
é a altura do cone.
Sabemos que o volume deve ser de 500 cm³, então teremos:
Passo 3
Nosso objetivo é minimizar a quantidade de material usado para fabricar o copo, ou seja, minimizar a área de superfície do cone. A área de superfície de um cone é dada por:
Onde é a geratriz do cone, calculada por:
Então, a área de superfície fica:
Passo 4
Para simplificar, vamos expressar em função de usando a equação do volume. A partir da equação do volume:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da área de superfície:
Essa expressão está um pouco complicada, então vamos simplificar os cálculos para encontrar o valor mínimo de .
Passo 6
Para encontrar o valor mínimo de , derivamos em relação a e igualamos a derivada a zero. Isso nos dará o valor de que minimiza a área de superfície.
Após cálculos de derivação e simplificação (que envolvem cálculo diferencial), encontramos o valor de que minimiza .
Passo 7
Após resolver a equação derivada, encontramos que o raio que minimiza a área de superfície é aproximadamente:
Passo 8
Agora, substituímos na expressão que encontramos para :
Resposta
O copo em forma de cone que comporta 500 cm³ de água e utiliza a menor quantidade de material tem um raio de aproximadamente 5,42 cm e uma altura de aproximadamente 16,07 cm.