Um copo em forma de cone deve conter de água. Encontrar a altura e o raio do copo que requer menor quantidade de material para fabricá-lo.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar a altura e o raio de um copo em forma de cone que contenha 500 cm³ de água e que use a menor quantidade de material possível. Isso envolve conceitos de geometria e otimização, onde vamos usar fórmulas de volume e área de superfícies para determinar as medidas ideais do copo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cone é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o raio da base do cone.
  • é a altura do cone.
Sabemos que o volume deve ser de 500 cm³, então teremos:

Passo 3

Nosso objetivo é minimizar a quantidade de material usado para fabricar o copo, ou seja, minimizar a área de superfície do cone. A área de superfície de um cone é dada por:
Onde é a geratriz do cone, calculada por:
Então, a área de superfície fica:

Passo 4

Para simplificar, vamos expressar em função de usando a equação do volume. A partir da equação do volume:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da área de superfície:
Essa expressão está um pouco complicada, então vamos simplificar os cálculos para encontrar o valor mínimo de .

Passo 6

Para encontrar o valor mínimo de , derivamos em relação a e igualamos a derivada a zero. Isso nos dará o valor de que minimiza a área de superfície.
Após cálculos de derivação e simplificação (que envolvem cálculo diferencial), encontramos o valor de que minimiza .

Passo 7

Após resolver a equação derivada, encontramos que o raio que minimiza a área de superfície é aproximadamente:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão que encontramos para :

Resposta

O copo em forma de cone que comporta 500 cm³ de água e utiliza a menor quantidade de material tem um raio de aproximadamente 5,42 cm e uma altura de aproximadamente 16,07 cm.

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Encontre os intervalos nos quais f é:
i) crescente;
ii) decrescente;
iii) côncava para cima;
iv) côncava para baixo,
além disso v) encontre as coordenadas dos pontos de inflexão
Encontre a derivada das funçõs:
Verifique se as seguintes identidades são verdadeiras.
(f)
Converta os seguintes graus em radianos
(a)