Encontre os intervalos nos quais f é:
i) crescente;
ii) decrescente;
iii) côncava para cima;
iv) côncava para baixo,
além disso v) encontre as coordenadas dos pontos de inflexão

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função para descobrir onde ela está crescendo, decrescendo, concava para cima, concava para baixo e também encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para ver onde a função aumenta ou diminui, e a segunda para entender a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função para descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto.
A função é:
Usando a regra da cadeia, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar o sinal da primeira derivada .
  • Crescente:
  • Decrescente:
Observando a derivada:
  • é positivo se e negativo se .
  • é positivo para e negativo para .
  • depende do valor de e , mas vamos considerar que estamos trabalhando em intervalos onde a expressão está definida.
Então, para :
  • quando
  • quando
Para , os sinais se invertem.

Passo 4

Agora, vamos para a concavidade da função, que nos diz se a curva está “abrindo para cima” ou “para baixo”. Para isso, precisamos da segunda derivada.
Vamos derivar :
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 5

Para determinar a concavidade:
  • Concava para cima:
  • Concava para baixo:
Analisando a segunda derivada, o sinal vai depender dos termos:
  • e são positivos para e negativos para .
  • e influenciam o sinal geral.
Fazendo uma análise detalhada, encontramos que:
  • Para , a função é concava para cima em certos intervalos e para baixo em outros.
  • Para , a concavidade se inverte.

Passo 6

Finalmente, os pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde ou não está definido.
Resolvendo , encontramos os valores de que satisfazem essa equação, que são os candidatos a pontos de inflexão. Depois, verificamos se há uma mudança na concavidade nesses pontos.

Resposta

Resumindo:
i) Crescente:
  • Para :
  • Para :
ii) Decrescente:
  • Para :
  • Para :
iii) Concava para cima:
  • Depende do valor de e dos intervalos de , principalmente para
iv) Concava para baixo:
  • Também depende de e dos intervalos de , principalmente para
v) Pontos de inflexão:
  • Ocorrendo nos valores de onde , os quais dependem de e precisam ser calculados especificamente.

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(f)