Encontre os intervalos nos quais f é:
i) crescente;
ii) decrescente;
iii) côncava para cima;
iv) côncava para baixo,
além disso v) encontre as coordenadas dos pontos de inflexão
i) crescente;
ii) decrescente;
iii) côncava para cima;
iv) côncava para baixo,
além disso v) encontre as coordenadas dos pontos de inflexão
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
para descobrir onde ela está crescendo, decrescendo, concava para cima, concava para baixo e também encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas: a primeira para ver onde a função aumenta ou diminui, e a segunda para entender a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função para descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada nos diz a inclinação da função em cada ponto.
A função é:
Usando a regra da cadeia, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar o sinal da primeira derivada
.
- Crescente:
- Decrescente:
Observando a derivada:
-
é positivo se e negativo se . -
é positivo para e negativo para . -
depende do valor de e , mas vamos considerar que estamos trabalhando em intervalos onde a expressão está definida.
Então, para
:
-
quando -
quando
Para
, os sinais se invertem.
Passo 4
Agora, vamos para a concavidade da função, que nos diz se a curva está “abrindo para cima” ou “para baixo”. Para isso, precisamos da segunda derivada.
Vamos derivar
:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 5
Para determinar a concavidade:
- Concava para cima:
- Concava para baixo:
Analisando a segunda derivada, o sinal vai depender dos termos:
-
e são positivos para e negativos para . -
e influenciam o sinal geral.
Fazendo uma análise detalhada, encontramos que:
- Para
, a função é concava para cima em certos intervalos e para baixo em outros. - Para
, a concavidade se inverte.
Passo 6
Finalmente, os pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde
ou não está definido.
Resolvendo
, encontramos os valores de
que satisfazem essa equação, que são os candidatos a pontos de inflexão. Depois, verificamos se há uma mudança na concavidade nesses pontos.
Resposta
Resumindo:
i) Crescente:
- Para
: - Para
:
ii) Decrescente:
- Para
: - Para
:
iii) Concava para cima:
- Depende do valor de
e dos intervalos de , principalmente para
iv) Concava para baixo:
- Também depende de
e dos intervalos de , principalmente para
v) Pontos de inflexão:
- Ocorrendo nos valores de
onde , os quais dependem de e precisam ser calculados especificamente.
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(f)
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