Um copo, depois de lavado, é colocado para secar virado com a boca para cima. Devido ao efeito da gravidade, a água presente escorre e se acumula ao fundo mesmo, formando uma película de água de 6 mm de espessura.
copo pode ser considerado de formato cilíndrico de diâmetro
e altura de 6 cm . Considere que a corrente de ar externo ao copo é de tal modo que não promova a agitação do ar dentro do copo e que, ao mesmo tempo, permita que toda a água que atinge a boca do copo seja instantaneamente diluída (removida) pela passagem da corrente de ar. Construa um gráfico quantitativo representando o tempo necessário para a completa secagem do copo em função de cada um dos parâmetros (mantendo, a cada item, todos os demais parâmetros constantes):
a) Umidade relativa do ar
b) Altura do copo
c) Diâmetro do copo
d) Temperatura da água
e) Espessura da película de água
Resolva cada item desse exercício considerando o sistema em estado pseudo-estacionário. Faça todas as considerações que julgar adequadas e necessárias. Utilize uma ferramenta de cálculo computacional para auxiliar nos cálculos e na construção dos gráficos (ex.: Excel, Matlab,…).
a) Umidade relativa do ar
b) Altura do copo
c) Diâmetro do copo
d) Temperatura da água
e) Espessura da película de água
Resolva cada item desse exercício considerando o sistema em estado pseudo-estacionário. Faça todas as considerações que julgar adequadas e necessárias. Utilize uma ferramenta de cálculo computacional para auxiliar nos cálculos e na construção dos gráficos (ex.: Excel, Matlab,…).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como um copo cilíndrico seca após ser lavado e colocado de cabeça para cima. A gente precisa entender como vários fatores afetam o tempo que o copo leva para secar completamente. Os parâmetros que vamos analisar são: umidade relativa do ar, altura do copo, diâmetro do copo, temperatura da água e a espessura da película de água. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de massa, evaporação e leis da física que relacionam esses fatores. Vamos precisar aplicar fórmulas matemáticas e, depois, usar uma ferramenta como o Excel ou o Matlab para criar os gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a umidade relativa do ar afeta a secagem do copo. A umidade relativa é a quantidade de vapor d’água presente no ar comparada com a quantidade máxima que o ar pode conter naquele momento. Quando a umidade é alta, o ar já está mais saturado com água, então a evaporação da água do copo será mais lenta. Por outro lado, se a umidade for baixa, o ar pode absorver mais água, acelerando a secagem.
Para quantificar isso, podemos usar a lei Fick de difusão para a taxa de evaporação:
Onde:
- $ D $ é o coeficiente de difusão do vapor d’água no ar.
- $ C_s $ é a concentração de vapor d’água na superfície da água (depende da temperatura).
- $ C_a $ é a concentração de vapor d’água no ar ambiente.
- $ L $ é a espessura da camada limite de ar.
A umidade relativa ($ \phi $) está relacionada com $ C_a $ através da relação:
Então, a taxa de evaporação depende diretamente de $ (1 - \phi) $.
Para encontrar o tempo de secagem ($ t $), podemos relacionar a quantidade de água a ser evaporada com a taxa de evaporação:
Onde $ m $ é a massa de água presente na película.
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa de água ($ m
e
d
h $) de 6 cm.
O volume da água é dado por:
A massa de água é:
Onde $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1 , g/cm^3 $).
Então,
Passo 4
Vamos agora relacionar isso com a umidade relativa do ar. Usando a relação da taxa de evaporação:
Substituindo $ C_a = \phi \times C_s $:
Isso mostra que o tempo de secagem é inversamente proporcional a $ (1 - \phi)
\phi $ aumenta), $ (1 - \phi) $ diminui, fazendo com que $ t $ aumente.
Passo 5
Para construir o gráfico do tempo de secagem em função da umidade relativa, mantemos todos os outros parâmetros constantes:
- Diâmetro ($ d = 2,5 , cm $)
- Altura ($ h = 6 , cm $)
- Temperatura da água (vamos considerar uma temperatura $ T $ constante)
- Espessura da película ($ e = 0,6 , cm $)
Usando os valores calculados e as relações acima, podemos variar $ \phi $ no eixo x e calcular $ t $ no eixo y para diferentes valores de umidade relativa. Utilizando o Excel ou Matlab, criamos uma tabela com vários valores de $ \phi $ (por exemplo, de 0% a 100%) e calculamos $ t $ para cada um, plotando o gráfico resultante.
Passo 6
Conclusão final para o item a):
Ao aumentar a umidade relativa do ar, o tempo necessário para a completa secagem do copo aumenta. Isso ocorre porque o ar mais úmido reduz a diferença na concentração de vapor d’água entre a superfície da água e o ar ambiente, diminuindo a taxa de evaporação.
Resposta
O gráfico mostra que o tempo necessário para a completa secagem do copo aumenta conforme a umidade relativa do ar aumenta. Portanto, quanto mais úmida estiver a atmosfera, mais tempo o copo leva para secar completamente.