Estime o Módulo de Thiele e derive uma expressão para o fator de efetividade para um catalisador poroso cilíndrico (porosidade e tortuosidade ) no qual ocorre uma reação . Assuma que a reação seja de 1^a ordem e que a altura da partícula seja muito maior que seu diâmetro (formato de agulha).
Considere que a partícula esteja exposta a uma corrente numa concentração CA, R e que a camada limite gasosa seja considerada negligenciável. Esboce uma gráfico relacionando o fator de efetividade e o Módulo de Thiele.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa estimar o Módulo de Thiele e derivar uma expressão para o fator de efetividade para um catalisador poroso cilíndrico onde ocorre a reação $ A \xrightarrow{k_{1}} B $. A reação é de primeira ordem, e a partícula tem formato de agulha, ou seja, a altura é muito maior que o diâmetro. Além disso, a partícula está exposta a uma corrente com concentração $ C_{A, R} $ e a camada limite gasosa é desprezada. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como Módulo de Thiele, fator de efetividade, porosidade ($ \varepsilon A xrightarrowk1 B \tau $), além de aplicar a teoria de reações em catalisadores porosos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Módulo de Thiele. Esse é um número adimensional que relaciona a taxa de reação à taxa de difusão no catalisador. Ele nos ajuda a entender se a reação está limitada pela velocidade da reação ($ \phi $ pequeno) ou pela difusão ($ \phi $ grande).
Para um catalisador poroso cilíndrico em formato de agulha, o Módulo de Thiele ($ \phi $) para uma reação de primeira ordem pode ser expresso como:
phi
Aqui:
$ R $ é o raio do cilindro,
$ k_{1} $ é a constante de taxa da reação,
$ D_{eff} $ é a difusividade efetiva no meio poroso.
A difusividade efetiva ($ D_{eff} phi \varepsilon phi \tau $) da matriz porosa, e é dada por:
phi = R raizk1Deff
Onde $ D $ é a difusividade do A no meio gasoso.
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão para o fator de efetividade ($ \eta $). O fator de efetividade mede a eficácia da reação dentro do catalisador considerando a difusão e a reação. Para um cilindro, a expressão geral do fator de efetividade em função do Módulo de Thiele é:
eta
Mas para simplificar, especialmente considerando que a partícula é muito longa (formato de agulha), podemos usar a relação padrão para reheção de primeira ordem:
eta = 1phi R integral0^R dCAdr cdot 2pi r L , dr
Essa expressão mostra como o fator de efetividade depende do Módulo de Thiele. Quando $ \phi $ é pequeno (alta difusão), $ \eta $ se aproxima de 1, indicando alta efetividade. Quando $ \phi $ aumenta, $ \eta $ diminui, refletindo a limitação pela difusão.
Resposta
O Módulo de Thiele para o catalisador poroso cilíndrico é dado por:
phi = R raizk1 tauD varepsilon
E a expressão para o fator de efetividade é:
eta = 1phi R cdot tanh(phi R)
Quanto ao gráfico que relaciona o fator de efetividade ($ \eta eta ó \phi $), ele apresenta tipicamente uma curva que inicia em $ \eta = 1 $ quando $ \phi = 0 $ e diminui à medida que $ \phi $ aumenta, refletindo a redução na efetividade devido à limitação pela difusão. A curva segue uma forma hiperbólica, aproximando-se de zero para valores muito grandes de $ \phi $.
Nota: O gráfico acima é ilustrativo. Para plotar o gráfico real, você pode usar softwares como Excel, MATLAB ou Python, variando $ \phi $ e calculando $ \eta $ usando a expressão derivada.