Um copo de papel em forma de cone é formado enrolando-se em um semicírculo que tem um raio de 12 cm. o volume do copo é de aproximadamente? use π = 3,14 e √(3= 1,73.)
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema. Temos um copo de papel em forma de cone, que foi feito enrolando um semicírculo com raio de 12 cm. Nosso objetivo é descobrir qual é o volume desse copo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a cones e circunferências.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o semicírculo se transforma no cone. Quando você enrola o semicírculo para formar o cone, o comprimento da borda do semicírculo vira a circunferência da base do cone. A fórmula para o comprimento de um semicírculo é:
Onde $ r $ é o raio do semicírculo. Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, sabemos que a circunferência da base do cone ($ C_{cone} $) é igual ao comprimento do semicírculo. A circunferência de um círculo é dada por:
Onde $ R $ é o raio da base do cone. Igualando as duas expressões:
Resolvendo para $ R $:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a altura ($ h
l $) do cone é o raio do semicírculo, que é 12 cm. Em um cone, a geratriz, a altura e o raio da base formam um triângulo retângulo. Podemos usar o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Agora que temos o raio da base ($ R = 6,cm
h \approx 10,38,cm
V $) do cone usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O volume do copo é aproximadamente $ 391,11,cm^3 $.