A corda enrolada em torno do cilindro na Figura 10 é puxada por uma mão que o acelera para cima, de forma que o centro de massa do cilindro não se mova. Encontre (a) a tração na corda, (b)a aceleração angular do cilindro, e © a aceleração da mão que puxa a corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde uma corda está enrolada em torno de um cilindro, e uma mão está puxando essa corda para cima. O objetivo é descobrir três coisas: a tração na corda, a aceleração angular do cilindro e a aceleração da mão que está puxando a corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e leis de Newton. Então, bora passo a passo entender o que está rolando aqui e como chegar nas respostas!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a tração na corda (T). Pense na tração como a força que a mão está exercendo para puxar a corda. Como o centro de massa do cilindro não está se movendo, isso significa que as forças que atuam para cima e para baixo estão equilibradas.
A força que puxa para cima é a tração T, e a força que puxa para baixo é o peso do cilindro, que é dado por T = mg (onde é a massa do cilindro e é a aceleração da gravidade). Como estão equilibradas:
Então, a tração na corda é igual ao peso do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular do cilindro ( tau = T cdot R ). Para isso, usamos a segunda lei de Newton para rotação, que é I = 12 m R^2 , onde T cdot R = 12 m R^2 cdot alpha é o torque, mg cdot R = 12 m R^2 cdot alpha é o momento de inércia do cilindro e alpha = 2gR é a aceleração angular.
Primeiro, precisamos encontrar o torque. O torque é a força multiplicada pela distância até o ponto de rotação. Aqui, a força é a tração T e a distância é o raio do cilindro:
O momento de inércia para um cilindro sólido é:
Agora, substituímos na equação do torque:
Como já sabemos que , substituímos:
Agora, podemos resolver para :
Então, a aceleração angular do cilindro é .

Passo 4

Por fim, vamos descobrir a aceleração da mão que puxa a corda ( am = alpha R ). A mão está puxando a corda com uma aceleração, e essa aceleração está relacionada com a aceleração angular do cilindro.
A relação entre a aceleração linear ( am = 2gR cdot R = 2g ) e a aceleração angular ( ) é dada por:
Já encontramos que , então substituímos:
Então, a aceleração da mão é o dobro da aceleração da gravidade.

Resposta

(a) A tração na corda é ;
(b) A aceleração angular do cilindro é ;
© A aceleração da mão que puxa a corda é .

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