A corda enrolada em torno do cilindro na Figura 10 é puxada por uma mão que o acelera para cima, de forma que o centro de massa do cilindro não se mova. Encontre (a) a tração na corda, (b)a aceleração angular do cilindro, e © a aceleração da mão que puxa a corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde uma corda está enrolada em torno de um cilindro, e uma mão está puxando essa corda para cima. O objetivo é descobrir três coisas: a tração na corda, a aceleração angular do cilindro e a aceleração da mão que está puxando a corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e leis de Newton. Então, bora passo a passo entender o que está rolando aqui e como chegar nas respostas!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a tração na corda (T). Pense na tração como a força que a mão está exercendo para puxar a corda. Como o centro de massa do cilindro não está se movendo, isso significa que as forças que atuam para cima e para baixo estão equilibradas.
A força que puxa para cima é a tração T, e a força que puxa para baixo é o peso do cilindro, que é dado por
(onde
é a massa do cilindro e
é a aceleração da gravidade). Como estão equilibradas:
Então, a tração na corda é igual ao peso do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração angular do cilindro (
). Para isso, usamos a segunda lei de Newton para rotação, que é
, onde
é o torque,
é o momento de inércia do cilindro e
é a aceleração angular.
Primeiro, precisamos encontrar o torque. O torque é a força multiplicada pela distância até o ponto de rotação. Aqui, a força é a tração T e a distância é o raio
do cilindro:
O momento de inércia para um cilindro sólido é:
Agora, substituímos na equação do torque:
Como já sabemos que
, substituímos:
Agora, podemos resolver para
:
Então, a aceleração angular do cilindro é
.
Passo 4
Por fim, vamos descobrir a aceleração da mão que puxa a corda (
). A mão está puxando a corda com uma aceleração, e essa aceleração está relacionada com a aceleração angular do cilindro.
A relação entre a aceleração linear (
) e a aceleração angular (
) é dada por:
Já encontramos que
, então substituímos:
Então, a aceleração da mão é o dobro da aceleração da gravidade.
Resposta
(a) A tração na corda é
;
(b) A aceleração angular do cilindro é
;
© A aceleração da mão que puxa a corda é
.
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