Uma corda esticada tem uma massa específica linear de 5,00 g / cm e está sujeita a uma tensão de 10,0 N. Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 0,12 mm, uma frequência de 100 Hz e está se propagando no sentido negativo de um eixo x. Se a equação da onda é da forma y(x, t)=Y sen(k x pm w t), determine Y, k, w e o sinal que procede w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda esticada com uma massa específica linear de y(x, t) = Y , sen(kx pm omega t) e está sob uma tensão de . Nessa corda, uma onda senoidal está se propagando com uma amplitude de e uma frequência de , indo na direção negativa do eixo x. Precisamos encontrar os valores de (amplitude), (número de onda), (frequência angular) e o sinal que acompanha na equação da onda:
Para isso, vamos usar conceitos de ondas em cordas e algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de Y = 0,12 , mm = 0,12 times 10^-3 , m = 1,2 times 10^-4 , m , que é a amplitude da onda. A amplitude já está dada no enunciado como . Mas é bom sempre prestar atenção às unidades. Como geralmente trabalhamos com o SI, vamos converter para metros:

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de onda v = raizTmu . Para isso, precisamos da relação entre mu = 5,00 , g/cm = 5,00 times 10^-3 , kg/cm = 5,00 times 10^-3 times 10^2 , kg/m = 0,5 , kg/m , a frequência v = raiz10,00,5 = raiz20 approx 4,472 , m/s , e a velocidade da onda . Primeiro, vamos encontrar a velocidade .
A velocidade de uma onda em uma corda é dada por:
Onde:
  • é a tensão na corda ( )
  • é a massa específica linear
Mas atenção: precisamos que as unidades estejam consistentes. A massa específica está em , então vamos converter para :
Agora, calculamos :

Passo 4

Com a velocidade v = f lambda Rightarrow lambda = vf = 4,472100 = 0,04472 , m e a frequência k = 2pilambda = 2pi0,04472 approx 140,42 , rad/m , podemos encontrar o comprimento de onda usando a relação:
Agora, o número de onda é dado por:

Passo 5

Vamos calcular a frequência angular omega = 2pi f = 2pi times 100 approx 628,32 , rad/s . Sabemos que:
y(x, t) = Y , sen(kx - omega t)
Quanto ao sinal que acompanha , ele indica a direção de propagação da onda. Como a onda está indo na direção negativa do eixo x, usamos o sinal negativo:

Resposta

Y = 1,2 times 10^-4 , m, k approx 140,42 , rad/m, omega approx 628,32 , rad/s, e o sinal é negativo é

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