Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo
é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função
onde (
representa a corda na posição
e no instante
, satisfaz a equação unidimensional da onda
, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma certa função satisfaz a equação da onda unidimensional. Essa equação descreve como uma onda, tipo uma corda vibrando, se comporta ao longo do tempo e do espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação ao tempo (
) e ao espaço (
) e verificar se elas se encaixam na equação da onda dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
em relação ao tempo
.
Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
, e aplicamos a regra da cadeia.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada dessa função em relação ao tempo
.
Continuando da primeira derivada:
Passo 4
Vamos agora encontrar a primeira derivada da função
em relação ao espaço
.
Usando a mesma ideia da derivada de seno:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada em relação ao espaço
.
Continuando da primeira derivada espacial:
Passo 6
Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação da onda:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados, vemos que são iguais:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação unidimensional da onda
.