Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função onde ( representa a corda na posição e no instante , satisfaz a equação unidimensional da onda , onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma certa função satisfaz a equação da onda unidimensional. Essa equação descreve como uma onda, tipo uma corda vibrando, se comporta ao longo do tempo e do espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação ao tempo () e ao espaço () e verificar se elas se encaixam na equação da onda dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função em relação ao tempo .
Lembre-se que a derivada de em relação a é , e aplicamos a regra da cadeia.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada dessa função em relação ao tempo .
Continuando da primeira derivada:
Passo 4
Vamos agora encontrar a primeira derivada da função em relação ao espaço .
Usando a mesma ideia da derivada de seno:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada em relação ao espaço .
Continuando da primeira derivada espacial:
Passo 6
Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação da onda:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados, vemos que são iguais:
Resposta
Sim, a função satisfaz a equação unidimensional da onda .