Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo x é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função y=y(x, t) onde ( x, t) representa a corda na posição x e no instante t, satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 ye^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
z=sin w a t sin w x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma certa função satisfaz a equação da onda unidimensional. Essa equação descreve como uma onda, tipo uma corda vibrando, se comporta ao longo do tempo e do espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação ao tempo ( t) e ao espaço ( x) e verificar se elas se encaixam na equação da onda dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função z = sin(w a t) sin(w x) em relação ao tempo t.
Lembre-se que a derivada de sin(u) em relação a u é cos(u), e aplicamos a regra da cadeia.
partial zpartial t = w a cos(w a t) sin(w x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada dessa função em relação ao tempo t.
Continuando da primeira derivada:
partial^2 zpartial t^2 = partialpartial t ( w a cos(w a t) sin(w x) ) = -w^2 a^2 sin(w a t) sin(w x)

Passo 4

Vamos agora encontrar a primeira derivada da função z em relação ao espaço x.
Usando a mesma ideia da derivada de seno:
partial zpartial x = sin(w a t) cdot w cos(w x)

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada em relação ao espaço x.
Continuando da primeira derivada espacial:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( sin(w a t) cdot w cos(w x) ) = -w^2 sin(w a t) sin(w x)

Passo 6

Agora, vamos substituir as derivadas que encontramos na equação da onda:
partial^2 zpartial t^2 = a^2 partial^2 zpartial x^2
Substituindo:
- w^2 a^2 sin(w a t) sin(w x) = a^2 ( -w^2 sin(w a t) sin(w x) )
Simplificando ambos os lados, vemos que são iguais:
- w^2 a^2 sin(w a t) sin(w x) = - w^2 a^2 sin(w a t) sin(w x)

Resposta

Sim, a função z = sin(w a t) sin(w x) satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 zpartial t^2 = a^2 partial^2 zpartial x^2.

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Calcule as expressões a seguir: |(-1/3) * 9|
Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo x é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função y=y(x, t) onde ( x, t) representa a corda na posição x e no instante t, satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 ye^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
z=sin (x+a t)
Determine a distância entre os números dados: 3 e 15
Determine a distância entre os números dados: -2 e -7