Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo
é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função
onde (
representa a corda na posição
e no instante
, satisfaz a equação unidimensional da onda
, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda em vibração descrita pela função
, onde
é a posição na corda e
é o tempo. A equação que essa função precisa satisfazer é a equação unidimensional da onda:
Aqui,
é uma constante que depende da densidade e da tensão da corda. O exercício quer que a gente mostre que a função
satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de segunda ordem de
em relação a
e a
e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função dada:
Para verificar se
satisfaz a equação da onda, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação ao tempo
:
Agora, calculamos a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a primeira derivada de
em relação à posição
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir as derivadas na equação da onda para verificar se ela é satisfeita:
Passo 6
Comparando os dois resultados:
Como os dois lados são iguais, a função
satisfaz a equação unidimensional da onda.
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação da onda
.