Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo x é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função y=y(x, t) onde ( x, t) representa a corda na posição x e no instante t, satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 ye^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
z=sin (x+a t)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda em vibração descrita pela função partial^2 ypartial t^2 = a^2 partial^2 ypartial x^2 , onde é a posição na corda e é o tempo. A equação que essa função precisa satisfazer é a equação unidimensional da onda:
Aqui, é uma constante que depende da densidade e da tensão da corda. O exercício quer que a gente mostre que a função satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de segunda ordem de em relação a e a e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função dada:
z = sin(x + a t)
Para verificar se satisfaz a equação da onda, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de partial zpartial t = partialpartial t sin(x + a t) = a cos(x + a t) em relação ao tempo partial^2 zpartial t^2 = partialpartial t ( a cos(x + a t) ) = -a^2 sin(x + a t) :
Agora, calculamos a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos a primeira derivada de partial zpartial x = partialpartial x sin(x + a t) = cos(x + a t) em relação à posição partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( cos(x + a t) ) = -sin(x + a t) :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas na equação da onda para verificar se ela é satisfeita:
partial^2 zpartial t^2 = -a^2 sin(x + a t)
a^2 partial^2 zpartial x^2 = a^2 ( -sin(x + a t) ) = -a^2 sin(x + a t)

Passo 6

Comparando os dois resultados:
partial^2 zpartial t^2 = a^2 partial^2 zpartial x^2
- a^2 sin(x + a t) = - a^2 sin(x + a t)
Como os dois lados são iguais, a função satisfaz a equação unidimensional da onda.

Resposta

Portanto, mostramos que satisfaz a equação da onda .

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Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo x é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função y=y(x, t) onde ( x, t) representa a corda na posição x e no instante t, satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 ye^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
y(x, t)=cosh (3(x-a t))
R. e^2 ypartial^2=9 a^2 cosh (3 x-3 a t) ; e^2 yc^2=9 cosh (3 x-3 a t).
Como partial^2 ypartial t^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, a equação y(x, t)=cosh (3(x-a t)) satisfaz a equação da onda.
Represente graficamente os conjuntos a seguir: (-3,5] e [0,8)
Calcule as expressões a seguir: |(-1/3) * 9|
Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo x é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função y=y(x, t) onde ( x, t) representa a corda na posição x e no instante t, satisfaz a equação unidimensional da onda partial^2 ye^2=a^2 partial^2 ypartial x^2, onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
z=sin w a t sin w x.