Uma corda fixada nas extremidades, esticada ao longo do eixo é posta em vibração. Com base em conceitos físicos é possivel mostrar que o deslocamento representado pela função onde ( representa a corda na posição e no instante , satisfaz a equação unidimensional da onda , onde a constante a depende da densidade e da tensão da corda. Mostre que as funçöes que seguem satisfazem essa equaçâo:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda em vibração descrita pela função , onde é a posição na corda e é o tempo. A equação que essa função precisa satisfazer é a equação unidimensional da onda:
Aqui, é uma constante que depende da densidade e da tensão da corda. O exercício quer que a gente mostre que a função satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de segunda ordem de em relação a e a e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função dada:
Para verificar se satisfaz a equação da onda, precisamos calcular e .
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação ao tempo :
Agora, calculamos a segunda derivada em relação a :
Passo 4
Em seguida, calculamos a primeira derivada de em relação à posição :
E a segunda derivada em relação a :
Passo 5
Agora, vamos substituir as derivadas na equação da onda para verificar se ela é satisfeita:
Passo 6
Comparando os dois resultados:
Como os dois lados são iguais, a função satisfaz a equação unidimensional da onda.
Resposta
Portanto, mostramos que satisfaz a equação da onda .