Uma corda forte, com massa de 2,80 g e comprimento 1,70 m, está presa a suportes em cada extremidade e vibra em seu modo fundamental. A velocidade transversal máxima de um ponto no meio da corda é 12,00 m / s. A tensão na corda é 317 N . Qual é a amplitude da onda estacionária em seu ventre?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma corda que está vibrando no modo fundamental. Nosso objetivo é encontrar a amplitude da onda estacionária no ventre da corda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas mecânicas, como velocidade de onda, frequência e amplitude. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A densidade linear, representada por mu = mL , é dada por:
mu = 0,00280, kg1,70, m approx 0,00165, kg/m
Onde:
  • (convertendo para kg)
Substituindo os valores:

Passo 3

No modo fundamental, o comprimento da corda é equivalente a meia onda. Portanto, o comprimento lambda = 2L está relacionado ao comprimento de onda lambda = 2 times 1,70, m = 3,40, m pela relação:
Substituindo :

Passo 4

A velocidade da onda ( v = raizTmu ) na corda pode ser calculada usando a fórmula:
v = raiz317, N0,00165, kg/m approx raiz192121,21, m^2/s^2 approx 438, m/s
Onde:
  • (tensão na corda)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar a frequência ( v = f lambda ) da onda. A frequência está relacionada à velocidade da onda e ao comprimento de onda pela fórmula:
f = vlambda = 438, m/s3,40, m approx 129, Hz
Isolando :

Passo 6

A velocidade angular ( omega = 2pi f ) é relacionada à frequência pela fórmula:
omega = 2 pi times 129 approx 811, rad/s
Substituindo :

Passo 7

Sabemos que a velocidade transversal máxima ( vmax = omega A ) está relacionada à amplitude ( A = vmaxomega ) e à velocidade angular ( A = 12,00, m/s811, rad/s approx 0,0148, m ) pela fórmula:
Queremos encontrar , então isolamos:
Substituindo os valores dados:

Resposta

A amplitude da onda estacionária no ventre da corda é aproximadamente ou .

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