Uma corda forte, com massa de
e comprimento
, está presa a suportes em cada extremidade e vibra em seu modo fundamental. A velocidade transversal máxima de um ponto no meio da corda é
. A tensão na corda é 317 N . Qual é a amplitude da onda estacionária em seu ventre?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma corda que está vibrando no modo fundamental. Nosso objetivo é encontrar a amplitude da onda estacionária no ventre da corda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas mecânicas, como velocidade de onda, frequência e amplitude. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A densidade linear, representada por
, é dada por:
Onde:
-
(convertendo para kg) -
Substituindo os valores:
Passo 3
No modo fundamental, o comprimento da corda é equivalente a meia onda. Portanto, o comprimento
está relacionado ao comprimento de onda
pela relação:
Substituindo
:
Passo 4
A velocidade da onda (
) na corda pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
(tensão na corda) -
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar a frequência (
) da onda. A frequência está relacionada à velocidade da onda e ao comprimento de onda pela fórmula:
Isolando
:
Passo 6
A velocidade angular (
) é relacionada à frequência pela fórmula:
Substituindo
:
Passo 7
Sabemos que a velocidade transversal máxima (
) está relacionada à amplitude (
) e à velocidade angular (
) pela fórmula:
Queremos encontrar
, então isolamos:
Substituindo os valores dados:
Resposta
A amplitude da onda estacionária no ventre da corda é aproximadamente
ou
.