Uma corda forte, com massa de e comprimento , está presa a suportes em cada extremidade e vibra em seu modo fundamental. A velocidade transversal máxima de um ponto no meio da corda é . A tensão na corda é 317 N . Qual é a amplitude da onda estacionária em seu ventre?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma corda que está vibrando no modo fundamental. Nosso objetivo é encontrar a amplitude da onda estacionária no ventre da corda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas mecânicas, como velocidade de onda, frequência e amplitude. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear da corda, que é a massa por unidade de comprimento. A densidade linear, representada por , é dada por:
Onde:
  • (convertendo para kg)
Substituindo os valores:

Passo 3

No modo fundamental, o comprimento da corda é equivalente a meia onda. Portanto, o comprimento está relacionado ao comprimento de onda pela relação:
Substituindo :

Passo 4

A velocidade da onda ( ) na corda pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • (tensão na corda)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar a frequência ( ) da onda. A frequência está relacionada à velocidade da onda e ao comprimento de onda pela fórmula:
Isolando :

Passo 6

A velocidade angular ( ) é relacionada à frequência pela fórmula:
Substituindo :

Passo 7

Sabemos que a velocidade transversal máxima ( ) está relacionada à amplitude ( ) e à velocidade angular ( ) pela fórmula:
Queremos encontrar , então isolamos:
Substituindo os valores dados:

Resposta

A amplitude da onda estacionária no ventre da corda é aproximadamente ou .

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