a) Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel
b) Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. A gente tem uma esfera e um anel, e queremos descobrir duas coisas:
a) Qual é a temperatura de equilíbrio entre eles, ou seja, para qual temperatura ambos vão se ajustar quando estiverem em contato.
b) Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termologia, mais especificamente o que a gente chama de equilíbrio térmico. Precisamos saber as massas, as capacidades térmicas e as temperaturas iniciais de cada objeto.

Passo 2

Vamos imaginar que a esfera tem uma massa m1 cdot c1 cdot (T - T1) = m2 cdot c2 cdot (T2 - T) , uma capacidade térmica específica e uma temperatura inicial . O anel tem uma massa , uma capacidade térmica específica e uma temperatura inicial .
Quando a esfera e o anel entram em contato térmico, eles trocam calor até atingirem a mesma temperatura de equilíbrio .
A conservação de energia nos diz que o calor perdido por um objeto é igual ao calor ganho pelo outro. Assim, podemos escrever a equação:
Aqui:
  • é o calor ganho pela esfera.
  • é o calor perdido pelo anel.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar a temperatura de equilíbrio m1 c1 T - m1 c1 T1 = m2 c2 T2 - m2 c2 T .
Primeiro, distribuímos os termos:
m1 c1 T + m2 c2 T = m2 c2 T2 + m1 c1 T1
Vamos juntar os termos com T (m1 c1 + m2 c2) = m2 c2 T2 + m1 c1 T1 de um lado:
T = m2 c2 T2 + m1 c1 T1m1 c1 + m2 c2
Fatorando :
Para isolar , dividimos ambos os lados pela soma das capacidades térmicas:

Passo 4

Agora, para encontrar a razão entre as massas da esfera e do anel, podemos rearranjar a equação da temperatura de equilíbrio.
Se quisermos expressar T (m1 c1 + m2 c2) = m2 c2 T2 + m1 c1 T1 , a razão entre as massas, podemos reorganizar a equação da seguinte forma:
T ( m1 c1m2 c2 + 1 ) = T2 + m1 c1m2 c2 T1
Dividindo ambos os lados por T (k c1c2 + 1) = T2 + k c1c2 T1 :
k = T (m1 c1 + m2 c2) - m2 c2 T2m1 c1 T1
Se chamarmos , então:
Podemos resolver para :
Mas geralmente, a razão dependerá das capacidades térmicas e das temperaturas iniciais. Sem valores específicos, essa é a forma geral da relação.

Resposta

A temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel é:
T = m2 c2 T2 + m1 c1 T1m1 c1 + m2 c2
E a razão entre a massa da esfera e a massa do anel é dada por:
m1m2 = T (m1 c1 + m2 c2) - m2 c2 T2m1 c1 T1

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