Uma corda oscila de acordo com a equação
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Quais são a amplitude das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação?
Quais são a amplitude das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma corda que está oscilando de acordo com uma equação específica. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é a amplitude das duas ondas que, somadas, produzem essa oscilação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias e superposição de ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da oscilação que foi dada:
Essa equação descreve uma onda estacionária, que é formada pela superposição de duas ondas que têm a mesma frequência e amplitude, mas se movem em direções opostas.
Passo 3
Sabemos que uma onda estacionária pode ser representada pela soma de duas ondas viajando em sentidos contrários. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde:
- $ y_1 = A \cdot \sin(kx - \omega t) $ (onda viajando para a direita)
- $ y_2 = A \cdot \sin(kx + \omega t) $ (onda viajando para a esquerda)
Aqui, $ A $ é a amplitude de cada onda individual, $ k $ é o número de onda, e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 4
Vamos somar $ y_1 $ e $ y_2 $:
Usando a fórmula da soma de senos:
Aplicando isso às nossas ondas:
Passo 5
Observando a equação resultante:
Compare com a equação dada no exercício:
Podemos ver que:
Passo 6
Para encontrar a amplitude $ A $ de cada onda individual, basta dividir ambos os lados da equação por 2:
Resposta
A amplitude de cada uma das duas ondas é de 0,20 cm.