Uma corda oscila de acordo com a equação
y=(0,40 cm) sen[(pi / 3 cm^-1) x] cos [(40 pi s^-1) t].
Quais são a amplitude das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma corda que está oscilando de acordo com uma equação específica. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é a amplitude das duas ondas que, somadas, produzem essa oscilação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias e superposição de ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da oscilação que foi dada:
y = (0,40 cm) cdot sin(pi3 cdot x) cdot cos(40pi cdot t)
Essa equação descreve uma onda estacionária, que é formada pela superposição de duas ondas que têm a mesma frequência e amplitude, mas se movem em direções opostas.

Passo 3

Sabemos que uma onda estacionária pode ser representada pela soma de duas ondas viajando em sentidos contrários. Matematicamente, isso é expresso por:
y = y1 + y2
Onde:
  • $ y_1 = A \cdot \sin(kx - \omega t) $ (onda viajando para a direita)
  • $ y_2 = A \cdot \sin(kx + \omega t) $ (onda viajando para a esquerda)
Aqui, $ A $ é a amplitude de cada onda individual, $ k $ é o número de onda, e $ \omega $ é a frequência angular.

Passo 4

Vamos somar $ y_1 $ e $ y_2 $:
y1
Usando a fórmula da soma de senos:
y2
Aplicando isso às nossas ondas:
y = A cdot sin(kx - omega t) + A cdot sin(kx + omega t)

Passo 5

Observando a equação resultante:
y = 2A cdot sin(kx) cdot cos(omega t)
Compare com a equação dada no exercício:
y = 0,40 cm cdot sin(pi3x) cdot cos(40pi t)
Podemos ver que:
2A = 0,40 cm

Passo 6

Para encontrar a amplitude $ A $ de cada onda individual, basta dividir ambos os lados da equação por 2:
A
A = 0,40 cm2

Resposta

A amplitude de cada uma das duas ondas é de 0,20 cm.

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