Uma corda uniforme, de 25 m de comprimento e massa de 0 , 4 0 k g, está esticada sob uma tensão de 1 0 N. Faz-se oscilar, transversalmente, uma extremidade da corda, com amplitude de 5,0 cm e frequência de 50 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 2,0 cm para cima. a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da onda progressiva gerada na corda. b) Escreva a função de onda do deslocamento transversal y(x, t). c) Qual é a velocidade transversal máxima de um elemento da corda? d) Calcule a energia média que a onda transporta enquanto se propaga (intensidade). Resp.: a) 25 m / s, 0,5 m ; b) y(x, t)=5 , 0 cos [4 pi x(m)-100 pi t(s)+1,16(rad)] cm ; c) vt=5 pi m / s ; d) I=49,3 J / s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda uniforme com 25 metros de comprimento e massa de 0,40 kg, esticada com uma tensão de 10 N. Uma das extremidades está sendo movimentada transversalmente com uma amplitude de 5,0 cm e frequência de 50 oscilações por segundo, começando com um deslocamento inicial de 2,0 cm para cima.
Vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, como velocidade de propagação, comprimento de onda, função de onda, velocidade transversal máxima e intensidade da onda. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

a) Calcular a velocidade de propagação v = raizTmu e o comprimento de onda mu = mL = 0,40, kg25, m = 0,016, kg/m .
Primeiro, vamos encontrar a velocidade de propagação da onda na corda. A fórmula para a velocidade v = raiz10, N0,016, kg/m = raiz625 = 25, m/s em uma corda é:
v = f lambda
Onde:
  • lambda = vf = 25, m/s50, Hz = 0,5, m é a tensão na corda (10 N).
  • é a massa por unidade de comprimento da corda, que se calcula dividindo a massa total pelo comprimento.
Calculando :
Agora, calculamos :
Para encontrar o comprimento de onda , usamos a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Rearranjando para :

Passo 3

b) Escrever a função de onda do deslocamento transversal y(x, t) = A cos(kx - omega t + phi) .
A função de onda geral para uma onda progressiva pode ser escrita como:
k = 2pi0,5, m = 4pi, rad/m
Onde:
  • omega = 2pi times 50, Hz = 100pi, rad/s é a amplitude da onda (5,0 cm).
  • y(x, t) = 5,0, cm cdot cos(4pi x - 100pi t + 1,16, rad) é o número de onda, dado por .
  • é a frequência angular, .
  • é a fase inicial (nesse caso, dado que o deslocamento inicial é 2,0 cm para cima, mas vamos considerar aqui o ajuste de fase necessário).
Calculando :
Calculando :
Considerando o deslocamento inicial, a fase é ajustada para 1,16 rad.
Portanto, a função de onda fica:

Passo 4

c) Determinar a velocidade transversal máxima vt = partial ypartial t = A omega sin(kx - omega t + phi) de um elemento da corda.
A velocidade transversal de um ponto na corda é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
vtmáx = A omega
A velocidade máxima ocorre quando A = 5,0, cm = 0,05, m , então:
vtmáx = 0,05, m times 100pi, rad/s = 5pi, m/s á
Convertendo a amplitude para metros:
Calculando :
á

Passo 5

d) Calcular a energia média que a onda transporta enquanto se propaga, ou seja, a intensidade I = 12 mu omega^2 A^2 v .
A intensidade de uma onda é a energia média transportada por unidade de tempo e área. Para ondas em cordas, a intensidade pode ser calculada usando:
mu = 0,016, kg/m, omega = 100pi, rad/s, A = 0,05, m, v = 25, m/s
Substituindo os valores:
I = 12 times 0,016 times (100pi)^2 times (0,05)^2 times 25
Calculando:
I = 0,008 times 10000pi^2 times 0,0025 times 25
I = 0,008 times 10000 times 9,8696 times 0,0025 times 25
I approx 49,3, J/s

Resposta

a) A velocidade de propagação y(x, t) = 5,0, cm cdot cos(4pi x - 100pi t + 1,16, rad) é e o comprimento de onda é .
b) A função de onda do deslocamento transversal é:
c) A velocidade transversal máxima de um elemento da corda é .
d) A energia média que a onda transporta enquanto se propaga, ou seja, a intensidade, é .

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