Uma corda uniforme, de
de comprimento e massa de
, está esticada sob uma tensão de
. Faz-se oscilar, transversalmente, uma extremidade da corda, com amplitude de
e frequência de 50 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de
para cima. a) Ache a velocidade de propagação
e o comprimento de onda da onda progressiva gerada na corda. b) Escreva a função de onda do deslocamento transversal
. c) Qual é a velocidade transversal máxima de um elemento da corda? d) Calcule a energia média que a onda transporta enquanto se propaga (intensidade). Resp.: a)
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda uniforme com 25 metros de comprimento e massa de 0,40 kg, esticada com uma tensão de 10 N. Uma das extremidades está sendo movimentada transversalmente com uma amplitude de 5,0 cm e frequência de 50 oscilações por segundo, começando com um deslocamento inicial de 2,0 cm para cima.
Vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, como velocidade de propagação, comprimento de onda, função de onda, velocidade transversal máxima e intensidade da onda. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
a) Calcular a velocidade de propagação
e o comprimento de onda
.
Primeiro, vamos encontrar a velocidade de propagação da onda na corda. A fórmula para a velocidade
em uma corda é:
Onde:
-
é a tensão na corda (10 N). -
é a massa por unidade de comprimento da corda, que se calcula dividindo a massa total pelo comprimento.
Calculando
:
Agora, calculamos
:
Para encontrar o comprimento de onda
, usamos a relação entre velocidade, frequência
e comprimento de onda:
Rearranjando para
:
Passo 3
b) Escrever a função de onda do deslocamento transversal
.
A função de onda geral para uma onda progressiva pode ser escrita como:
Onde:
-
é a amplitude da onda (5,0 cm). -
é o número de onda, dado por . -
é a frequência angular, . -
é a fase inicial (nesse caso, dado que o deslocamento inicial é 2,0 cm para cima, mas vamos considerar aqui o ajuste de fase necessário).
Calculando
:
Calculando
:
Considerando o deslocamento inicial, a fase
é ajustada para 1,16 rad.
Portanto, a função de onda fica:
Passo 4
c) Determinar a velocidade transversal máxima
de um elemento da corda.
A velocidade transversal de um ponto na corda é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
A velocidade máxima ocorre quando
, então:
Convertendo a amplitude para metros:
Calculando
:
Passo 5
d) Calcular a energia média que a onda transporta enquanto se propaga, ou seja, a intensidade
.
A intensidade de uma onda é a energia média transportada por unidade de tempo e área. Para ondas em cordas, a intensidade pode ser calculada usando:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
a) A velocidade de propagação
é
e o comprimento de onda
é
.
b) A função de onda do deslocamento transversal é:
c) A velocidade transversal máxima de um elemento da corda é
.
d) A energia média que a onda transporta enquanto se propaga, ou seja, a intensidade, é
.
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