Prove que a inclinação de uma corda, em qualquer ponto, é numericamente igual à razão entre a velocidade transversal da partícula e a velocidade de propagação da onda naquele ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a inclinação de uma corda, em qualquer ponto, é igual à razão entre a velocidade transversal da partícula e a velocidade de propagação da onda naquele ponto.
Matéria envolvida: Ondas mecânicas em cordas.
O que vamos precisar: Entender o que são inclinação, velocidade transversal e velocidade de propagação de uma onda. Vamos usar derivadas para relacionar essas quantidades.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a inclinação da corda em um ponto. Matematicamente, a inclinação é representada pela derivada da posição vertical Inclinação = dydx em relação à posição horizontal . Ou seja:
çã

Passo 3

Agora, vamos entender a velocidade transversal da partícula. Essa é a velocidade com que a partícula da corda se move na direção vertical Velocidade Transversal = dydt . Ela é dada pela derivada de em relação ao tempo :

Passo 4

A velocidade de propagação da onda, denotada por , é a velocidade com que a onda se move ao longo da corda na direção horizontal .

Passo 5

Sabemos que a onda na corda pode ser representada por uma função y(x, t) = f(x - vt) . Para relacionar as derivadas de em relação a e , consideramos uma onda que se propaga na direção positiva de :

Passo 6

Vamos calcular a derivada de dydt = ddt f(x - vt) = f'(x - vt) cdot (-v) = -v cdot dydx em relação a :
Aqui, é a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 7

Agora, isolamos dydx = -1v cdot dydt na equação acima:
| dydx | = | dydt |v
Como estamos interessados somente no valor numérico da inclinação, podemos ignorar o sinal negativo (que indica a direção):

Resposta

Assim, provamos que a inclinação da corda em qualquer ponto é igual à razão entre a velocidade transversal da partícula e a velocidade de propagação da onda naquele ponto:
| dydx | = | dydt |v

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