Prove que a inclinação de uma corda, em qualquer ponto, é numericamente igual à razão entre a velocidade transversal da partícula e a velocidade de propagação da onda naquele ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a inclinação de uma corda, em qualquer ponto, é igual à razão entre a velocidade transversal da partícula e a velocidade de propagação da onda naquele ponto.
Matéria envolvida: Ondas mecânicas em cordas.
O que vamos precisar: Entender o que são inclinação, velocidade transversal e velocidade de propagação de uma onda. Vamos usar derivadas para relacionar essas quantidades.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a inclinação da corda em um ponto. Matematicamente, a inclinação é representada pela derivada da posição vertical
em relação à posição horizontal
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos entender a velocidade transversal da partícula. Essa é a velocidade com que a partícula da corda se move na direção vertical
. Ela é dada pela derivada de
em relação ao tempo
:
Passo 4
A velocidade de propagação da onda, denotada por
, é a velocidade com que a onda se move ao longo da corda na direção horizontal
.
Passo 5
Sabemos que a onda na corda pode ser representada por uma função
. Para relacionar as derivadas de
em relação a
e
, consideramos uma onda que se propaga na direção positiva de
:
Passo 6
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao seu argumento.
Passo 7
Agora, isolamos
na equação acima:
Como estamos interessados somente no valor numérico da inclinação, podemos ignorar o sinal negativo (que indica a direção):
Resposta
Assim, provamos que a inclinação da corda em qualquer ponto é igual à razão entre a velocidade transversal da partícula e a velocidade de propagação da onda naquele ponto: