Uma corda uniforme possui massa
e é pendurada pelos pontos A e B, localizados em uma mesma altura. O ponto mais baixo da corda se encontra em uma altura
. Determine a tensão no ponto mais baixo da corda. A intensidade da gravidade é
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma corda uniforme com massa $ m $ que está pendurada nos pontos A e B, que estão na mesma altura. O ponto mais baixo da corda está a uma altura $ h $, e o comprimento total da corda é $ L = 4h $. Nosso objetivo é determinar a tensão no ponto mais baixo da corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de forças e entender como a tensão atua em uma corda pendurada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a corda pendurada formando uma curva simétrica com o ponto mais baixo a $ h $ de altura. Como os pontos de fixação A e B estão na mesma altura, a tensão nas duas extremidades será a mesma. No ponto mais baixo, a tensão na corda precisa equilibrar o peso da corda inteira.
Passo 3
Vamos calcular o peso total da corda, que é a força devido à gravidade. A fórmula para o peso ($ P $) é:
onde $ m $ é a massa da corda e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
No ponto mais baixo da corda, a tensão ($ T $) deve equilibrar o peso da corda. Como a corda está em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser zero. Como a corda está simétrica, a tensão nos dois lados do ponto mais baixo contribui para sustentar o peso. Portanto, a tensão total no ponto mais baixo é duas vezes o peso da corda.
Passo 5
Então, podemos expressar a tensão ($ T $) no ponto mais baixo como:
Mas vamos considerar que devido à geometria da corda e ao fato de que $ L = 4h $, precisamos ajustar essa relação. A tensão no ponto mais baixo também leva em conta o ângulo que a corda faz com a horizontal.
Passo 6
Assumindo que a corda forma um ângulo $ \theta $ com a horizontal, a componente vertical da tensão em cada lado será $ T \cdot \sin(\theta) $. Como a soma dessas componentes deve igualar o peso da corda:
Agora, precisamos relacionar $ \theta $ com $ L $ e $ h $.
Passo 7
Considerando a geometria da situação, podemos aproximar que $ \sin(\theta) \approx \frac{h}{2h} = \frac{1}{2} $ (já que $ L = 4h $). Substituindo na equação anterior:
Resposta
A tensão no ponto mais baixo da corda é $ T = m \cdot g $.