Dados:
,
Um trem com aceleração máxima
e desaceleração máxima
(módulo da aceleração de freamento) em repouso na estação
deve partir e atingir um certo ponto
, e a partir desse ponto ele freia com essa mesma desaceleração até até parar na estação
. Calcule a distância entre a estação
e o ponto
.
Calcule o tempo total entre as estações A e B.
Um trem com aceleração máxima
Calcule o tempo total entre as estações A e B.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um trem que precisa ir da estação A até a estação B, passando por um ponto X no meio. Ele começa parado, acelera até X com uma aceleração máxima $ a $, e depois desacelera até parar na estação B com uma desaceleração máxima $ f $. Nosso objetivo é descobrir:
- A distância entre a estação A e o ponto X.
- O tempo total que o trem leva para ir de A até B.
Vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos objetos, analisando velocidade, aceleração e deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o movimento do trem é dividido em duas partes:
- Aceleração de A até X: o trem parte do repouso e acelera com aceleração $ a $ até chegar em X.
- Desaceleração de X até B: a partir de X, ele desacelera com desaceleração $ f $ até parar na estação B.
Vamos chamar a distância entre A e X de $ d $.
Passo 3
Vamos calcular a distância $ d $ que o trem percorre durante a aceleração. Sabemos que o trem parte do repouso, então a velocidade inicial $ v_0 = 0 $. A fórmula que relaciona a distância, a aceleração e o tempo é:
Como $ v_0 = 0 $, simplifica para:
Onde $ t_1 $ é o tempo de aceleração até X.
Passo 4
Agora, durante a desaceleração, o trem vai do ponto X até B, parando. A velocidade final é zero, então usamos a fórmula:
Como $ v = 0 $, temos:
Aqui, $ v_1 $ é a velocidade máxima no ponto X, e $ t_2 $ é o tempo de desaceleração.
Passo 5
A velocidade máxima $ v_1 $ é atingida ao final da aceleração. Usamos a fórmula:
Como $ v_0 = 0 $, então:
Passo 6
Agora, vamos relacionar as duas fases do movimento. A distância total entre A e B é $ 2d $, já que a distância de aceleração e desaceleração é a mesma (assumindo que $ a $ e $ f $ são constantes).
Portanto:
Passo 7
Para encontrar $ d $, precisamos expressar $ t_1 $ em termos de $ v_1 $. Da Passo 5:
Substituindo em $ d $:
Passo 8
Durante a desaceleração, a distância percorrida é:
Substituindo $ t_2 = \frac{v_1}{f} $ de Passo 4:
Passo 9
Igualando as duas expressões para $ d $:
Isso sugere que $ a = f $, mas como $ a $ e $ f $ podem ser diferentes, devemos considerar que a distância total é $ d = \frac{v_1^2}{2a} + \frac{v_1^2}{2f} $.
Passo 10
Somando as distâncias de aceleração e desaceleração:
Passo 11
Agora, queremos expressar a distância $ d $ entre A e X, então dividimos por 2:
Passo 12
Para encontrar o tempo total, somamos $ t_1 $ e $ t_2 $:
Resposta
A distância entre a estação A e o ponto X é:
E o tempo total entre as estações A e B é: