Dados: g=10 m / s^2,
Um trem com aceleração máxima a e desaceleração máxima f (módulo da aceleração de freamento) em repouso na estação A deve partir e atingir um certo ponto X, e a partir desse ponto ele freia com essa mesma desaceleração até até parar na estação B. Calcule a distância entre a estação A e o ponto X.
Calcule o tempo total entre as estações A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um trem que precisa ir da estação A até a estação B, passando por um ponto X no meio. Ele começa parado, acelera até X com uma aceleração máxima $ a $, e depois desacelera até parar na estação B com uma desaceleração máxima $ f $. Nosso objetivo é descobrir:
  1. A distância entre a estação A e o ponto X.
  2. O tempo total que o trem leva para ir de A até B.
Vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos objetos, analisando velocidade, aceleração e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o movimento do trem é dividido em duas partes:
  1. Aceleração de A até X: o trem parte do repouso e acelera com aceleração $ a $ até chegar em X.
  2. Desaceleração de X até B: a partir de X, ele desacelera com desaceleração $ f $ até parar na estação B.
Vamos chamar a distância entre A e X de $ d $.

Passo 3

Vamos calcular a distância $ d $ que o trem percorre durante a aceleração. Sabemos que o trem parte do repouso, então a velocidade inicial $ v_0 = 0 $. A fórmula que relaciona a distância, a aceleração e o tempo é:
d
Como $ v_0 = 0 $, simplifica para:
v0 = 0
Onde $ t_1 $ é o tempo de aceleração até X.

Passo 4

Agora, durante a desaceleração, o trem vai do ponto X até B, parando. A velocidade final é zero, então usamos a fórmula:
v = v1 - f t2
Como $ v = 0 $, temos:
v = 0
Aqui, $ v_1 $ é a velocidade máxima no ponto X, e $ t_2 $ é o tempo de desaceleração.

Passo 5

A velocidade máxima $ v_1 $ é atingida ao final da aceleração. Usamos a fórmula:
v1
Como $ v_0 = 0 $, então:
v1 = v0 + a t1

Passo 6

Agora, vamos relacionar as duas fases do movimento. A distância total entre A e B é $ 2d $, já que a distância de aceleração e desaceleração é a mesma (assumindo que $ a $ e $ f $ são constantes).
Portanto:
2d â

Passo 7

Para encontrar $ d $, precisamos expressar $ t_1 $ em termos de $ v_1 $. Da Passo 5:
d
Substituindo em $ d $:
t1

Passo 8

Durante a desaceleração, a distância percorrida é:
d = v1 t2 - 12 f t2^2
Substituindo $ t_2 = \frac{v_1}{f} $ de Passo 4:
t2 = v1f

Passo 9

Igualando as duas expressões para $ d $:
d
Isso sugere que $ a = f $, mas como $ a $ e $ f $ podem ser diferentes, devemos considerar que a distância total é $ d = \frac{v_1^2}{2a} + \frac{v_1^2}{2f} $.

Passo 10

Somando as distâncias de aceleração e desaceleração:
2d = v1^22a + v1^22f = v1^22 ( 1a + 1f ) = v1^2 (a + f)2af

Passo 11

Agora, queremos expressar a distância $ d $ entre A e X, então dividimos por 2:
d

Passo 12

Para encontrar o tempo total, somamos $ t_1 $ e $ t_2 $:
t1

Resposta

A distância entre a estação A e o ponto X é:
d = v1^2 (a + f)4af
E o tempo total entre as estações A e B é:
ttotal = v1 ( 1a + 1f )

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