Uma corda vibrante, de comprimento L1, fixa nos extremos, tem como menor frequência de ressonância 100 Hz . A segunda frequência de ressonância de uma outra corda, do mesmo diâmetro e mesmo material, submetido à mesma tensão, mas de comprimento L2 diferente de L1, é também igual a 100 Hz . A relação L2 / L1 é igual a:
a) 2
b) raiz3
c) 1 / 2
d) raiz2
e) 4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas cordas vibrantes feitas do mesmo material e com o mesmo diâmetro, além de estarem sob a mesma tensão. A primeira corda tem comprimento e sua menor frequência de ressonância é 100 Hz. A segunda corda tem comprimento e sua segunda frequência de ressonância também é 100 Hz. Precisamos encontrar a relação .
Para resolver isso, vamos precisar entender como a frequência de ressonância de uma corda vibrante depende do seu comprimento, tensão e densidade linear. Usaremos a fórmula da frequência fundamental de uma corda fixa nas extremidades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da frequência fundamental ( f1 = 12L raizTmu ) de uma corda vibrante fixa nas extremidades:
onde:
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão na corda,
  • é a densidade linear (massa por unidade de comprimento).
Como ambas as cordas têm a mesma tensão e a mesma densidade linear , podemos comparar as frequências em função dos comprimentos das cordas.

Passo 3

Para a primeira corda com comprimento 100 = 12L1 raizTmu e frequência fundamental f2 = 2f1 Hz:
f2 = 100 Hz = 2f'1
Agora, para a segunda corda, a frequência mencionada é a segunda frequência de ressonância. Em cordas fixas, as frequências de ressonância são múltiplos da fundamental. Ou seja, a segunda frequência é o segundo modo, que é o dobro da fundamental:
f'1 = 1002 = 50 Hz
No exercício, foi dito que a segunda frequência da segunda corda também é 100 Hz. Portanto:
onde é a frequência fundamental da segunda corda. Assim, a frequência fundamental da segunda corda é:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da frequência fundamental para a segunda corda:
50 = 12L2 raizTmu
Observamos que a expressão é a mesma para ambas as cordas, já que tensão e densidade são iguais.

Passo 5

Vamos relacionar as duas equações:
Para a primeira corda:
100 = 12L1 raizTmu
Para a segunda corda:
50 = 12L2 raizTmu
Dividindo a segunda equação pela primeira:
50100 = 12L2 raizTmu12L1 raizTmu Rightarrow 12 = L1L2
Portanto:
L2L1 = 2

Resposta

A relação é igual a 2.
Alternativa a)

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