Uma corda vibrante, de comprimento
, fixa nos extremos, tem como menor frequência de ressonância 100 Hz . A segunda frequência de ressonância de uma outra corda, do mesmo diâmetro e mesmo material, submetido à mesma tensão, mas de comprimento
diferente de
, é também igual a 100 Hz . A relação
é igual a:
a) 2
b)
c)
d)
e) 4
a) 2
b)
c)
d)
e) 4
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas cordas vibrantes feitas do mesmo material e com o mesmo diâmetro, além de estarem sob a mesma tensão. A primeira corda tem comprimento
e sua menor frequência de ressonância é 100 Hz. A segunda corda tem comprimento
e sua segunda frequência de ressonância também é 100 Hz. Precisamos encontrar a relação
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a frequência de ressonância de uma corda vibrante depende do seu comprimento, tensão e densidade linear. Usaremos a fórmula da frequência fundamental de uma corda fixa nas extremidades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da frequência fundamental (
) de uma corda vibrante fixa nas extremidades:
onde:
-
é o comprimento da corda, -
é a tensão na corda, -
é a densidade linear (massa por unidade de comprimento).
Como ambas as cordas têm a mesma tensão
e a mesma densidade linear
, podemos comparar as frequências em função dos comprimentos das cordas.
Passo 3
Para a primeira corda com comprimento
e frequência fundamental
Hz:
Agora, para a segunda corda, a frequência mencionada é a segunda frequência de ressonância. Em cordas fixas, as frequências de ressonância são múltiplos da fundamental. Ou seja, a segunda frequência é o segundo modo, que é o dobro da fundamental:
No exercício, foi dito que a segunda frequência da segunda corda também é 100 Hz. Portanto:
onde
é a frequência fundamental da segunda corda. Assim, a frequência fundamental da segunda corda é:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da frequência fundamental para a segunda corda:
Observamos que a expressão
é a mesma para ambas as cordas, já que tensão e densidade são iguais.
Passo 5
Vamos relacionar as duas equações:
Para a primeira corda:
Para a segunda corda:
Dividindo a segunda equação pela primeira:
Portanto:
Resposta
A relação
é igual a 2.
Alternativa a)
Alternativa a)