Uma corda de 100 g de massa e 1 m de comprimento vibra no modo fundamental, próxima de uma das extremidades de um tubo aberto de 4 m de comprimento. 0 tubo, então, ressoa, também no modo fundamental. Sendo de 320 m / s a velocidade do som no ar do tubo, calcule a foça tensora na corda. (R: 640 N )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda com massa de 100 g (ou 0,1 kg) e comprimento de 1 metro que está vibrando no modo fundamental. Essa corda está próxima a uma das extremidades de um tubo aberto com 4 metros de comprimento, que também está ressoando no modo fundamental. Sabemos que a velocidade do som no ar dentro do tubo é de 320 m/s. O objetivo é calcular a força tensora na corda.
Conteúdo da matéria: Ondas estacionárias em cordas e tubos ressonantes.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular a frequência fundamental de uma corda vibrante.
  • Entender como calcular a frequência fundamental de um tubo ressonante.
  • Igualar as duas frequências para encontrar a força tensora.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a frequência fundamental da corda. A frequência fundamental f = vcorda2L de uma corda vibrante é dada por:
vcorda = raizTmu
onde:
  • mu = mL = 0,1 , kg1 , m = 0,1 , kg/m é a velocidade da onda na corda.
  • é o comprimento da corda.
A velocidade da onda na corda está relacionada à força tensora e à densidade linear da corda pela fórmula:
A densidade linear é a massa por unidade de comprimento da corda:

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência fundamental do tubo aberto. A frequência fundamental ft = vsom2Lt de um tubo aberto é dada por:
ft = 320 , m/s2 times 4 , m = 3208 = 40 , Hz
onde:
  • é a velocidade do som no ar (320 m/s).
  • é o comprimento do tubo (4 m).
Substituindo os valores:

Passo 4

Como a corda está ressonando no modo fundamental próximo à extremidade do tubo que também está no modo fundamental, as duas frequências devem ser iguais:
f = ft
Então, temos:
raizTmu2L = 40 , Hz

Passo 5

Vamos isolar a força tensora raizTmu = 40 times 2 times 1 = 80 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por Tmu = 80^2 = 6400 :
T = 6400 times mu = 6400 times 0,1 = 640 , N
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A força tensora na corda é de 640 N.

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