Uma corda de violino, de
e densidade linear
, está colocada junto a um alto falante que é alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. Verifica-se que quando a frequência do oscilador varia continuamente na faixa de 500 a 1500 Hz , a corda oscila apenas nas frequências de 880 e 1320 Hz . Encontre a tensão na corda.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está falando. Temos uma corda de violino que mede 31,6 cm de comprimento e tem uma densidade linear de 0,65 g/m. Essa corda está perto de um alto-falante que toca sons com frequências que variam de 500 a 1500 Hz. Observamos que a corda só vibra nas frequências de 880 Hz e 1320 Hz. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tensão nessa corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas em cordas e as fórmulas que relacionam frequência, comprimento, densidade e tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as cordas vibram em frequências específicas chamadas de harmônicos. A frequência dos harmônicos depende do comprimento da corda, da tensão nela e da sua densidade linear. A fórmula que relaciona essas grandezas é:
Onde:
-
é a frequência do n-ésimo harmônico, -
é um número inteiro (1, 2, 3,…), -
é a velocidade da onda na corda, -
é o comprimento da corda.
Passo 3
Agora, sabemos que a velocidade da onda na corda (
) também está relacionada à tensão (
) e à densidade linear (
) pela fórmula:
Onde:
-
é a tensão na corda, -
é a densidade linear da corda.
Como queremos encontrar a tensão (
), vamos precisar dessas duas fórmulas juntas.
Passo 4
Vamos primeiro converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O comprimento da corda é 31,6 cm, o que é igual a 0,316 m. A densidade linear está em g/m, então:
Passo 5
Agora, vamos analisar as frequências que a corda está vibrando, que são 880 Hz e 1320 Hz. Notamos que 1320 Hz é 1,5 vezes 880 Hz. Isso sugere que estamos lidando com harmonicos consecutivos, ou seja, o primeiro harmônico (fundamental) e o segundo harmônico.
Então, podemos escrever para o primeiro harmônico (
):
E para o segundo harmônico (
):
Passo 6
Como sabemos as duas frequências, podemos montar uma relação entre elas. Dividindo
por
:
Mas na nossa situação real, a razão entre as frequências é:
Isso indica que as frequências dadas não são harmônicos completos, então precisamos abordar o problema de outra forma.
Passo 7
Vamos usar a fórmula da velocidade da onda e relacionar com as frequências dadas. Sabemos que a velocidade da onda é constante para uma dada corda com uma tensão específica. Então, podemos calcular a velocidade da onda usando uma das frequências e depois usar a outra frequência para verificar a consistência.
Vamos usar a frequência de 880 Hz:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos usar a relação entre a velocidade da onda, a tensão e a densidade linear para encontrar a tensão:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores:
Resposta
A tensão na corda é aproximadamente
.