Uma corda de violino, de 31,6 cm e densidade linear 0 , 6 5 g / m, está colocada junto a um alto falante que é alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. Verifica-se que quando a frequência do oscilador varia continuamente na faixa de 500 a 1500 Hz , a corda oscila apenas nas frequências de 880 e 1320 Hz . Encontre a tensão na corda.
Resp.: T=50,26 N

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está falando. Temos uma corda de violino que mede 31,6 cm de comprimento e tem uma densidade linear de 0,65 g/m. Essa corda está perto de um alto-falante que toca sons com frequências que variam de 500 a 1500 Hz. Observamos que a corda só vibra nas frequências de 880 Hz e 1320 Hz. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a tensão nessa corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas em cordas e as fórmulas que relacionam frequência, comprimento, densidade e tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as cordas vibram em frequências específicas chamadas de harmônicos. A frequência dos harmônicos depende do comprimento da corda, da tensão nela e da sua densidade linear. A fórmula que relaciona essas grandezas é:
fn = n cdot v2L
Onde:
  • é a frequência do n-ésimo harmônico,
  • é um número inteiro (1, 2, 3,…),
  • é a velocidade da onda na corda,
  • é o comprimento da corda.

Passo 3

Agora, sabemos que a velocidade da onda na corda ( v = raizTmu ) também está relacionada à tensão ( ) e à densidade linear ( ) pela fórmula:
Onde:
  • é a tensão na corda,
  • é a densidade linear da corda.
Como queremos encontrar a tensão ( ), vamos precisar dessas duas fórmulas juntas.

Passo 4

Vamos primeiro converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O comprimento da corda é 31,6 cm, o que é igual a 0,316 m. A densidade linear está em g/m, então:
mu = 0,65 , g/m = 0,00065 , kg/m

Passo 5

Agora, vamos analisar as frequências que a corda está vibrando, que são 880 Hz e 1320 Hz. Notamos que 1320 Hz é 1,5 vezes 880 Hz. Isso sugere que estamos lidando com harmonicos consecutivos, ou seja, o primeiro harmônico (fundamental) e o segundo harmônico.
Então, podemos escrever para o primeiro harmônico ( f1 = v2L ):
f2 = 2 cdot v2L = vL
E para o segundo harmônico ( ):

Passo 6

Como sabemos as duas frequências, podemos montar uma relação entre elas. Dividindo f2f1 = vLv2L = 2 por 1320880 = 1,5 :
Mas na nossa situação real, a razão entre as frequências é:
Isso indica que as frequências dadas não são harmônicos completos, então precisamos abordar o problema de outra forma.

Passo 7

Vamos usar a fórmula da velocidade da onda e relacionar com as frequências dadas. Sabemos que a velocidade da onda é constante para uma dada corda com uma tensão específica. Então, podemos calcular a velocidade da onda usando uma das frequências e depois usar a outra frequência para verificar a consistência.
Vamos usar a frequência de 880 Hz:
v = 2L cdot f1
Substituindo os valores:
v = 2 cdot 0,316 , m cdot 880 , Hz = 2 cdot 0,316 cdot 880
v = 556,16 , m/s

Passo 8

Agora, vamos usar a relação entre a velocidade da onda, a tensão e a densidade linear para encontrar a tensão:
v = raizTmu
Rearranjando para encontrar T = mu cdot v^2 :
T = 0,00065 , kg/m cdot (556,16 , m/s)^2
Substituindo os valores:
T = 0,00065 cdot 309,423
T approx 0,201 , N

Resposta

A tensão na corda é aproximadamente .

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