Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo X:
e
. Pergunta-se : (a) Qual o valor de
para que ocorra a interferência construtiva em
e interferência destrutiva em
. (b) Para cada valor de
encontrado, escreva a função de onda total,
. © Encontre os pontos do fio, que são sempre estacionários. Resp.: a) máx:
; mín:
; b) Construtiva:
Destrutiva:
; c) Construtiva:
, n natural; Destrutiva:
natural.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas ondas que estão se movendo ao longo de um fio que coincide com o eixo X. As equações dessas ondas são:
O que a gente precisa descobrir aqui envolve interferência de ondas, que é quando duas ondas se encontram e combinam suas amplitudes. A gente vai precisar entender como somar essas ondas e determinar os valores de
que causam interferência construtiva (onde as ondas se somam para formar uma onda maior) e interferência destrutiva (onde as ondas se cancelam). Além disso, vamos encontrar a onda total resultante e identificar os pontos estacionários no fio.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), onde temos que encontrar o valor de
que causa interferência construtiva e destrutiva em
.
Primeiro, para interferência construtiva, queremos que as duas ondas estejam em fase no ponto
. Isso significa que o ângulo dentro do cosseno das duas ondas deve ser igual, ou seja:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Mas, como queremos que isso aconteça para todo o tempo
, a única forma possível é que
seja um múltiplo de
, ou seja:
Para interferência destrutiva, queremos que as ondas estejam em oposição de fase, ou seja, que a diferença de fase seja
(ou um múltiplo ímpar de
):
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos escrever a função de onda total
para cada caso encontrado.
Quando temos interferência construtiva (
), as duas ondas somam suas amplitudes máximas. Usando a fórmula da soma de cossenos com mesma fase:
Já na interferência destrutiva (
), as ondas têm fases opostas, e a soma resulta em uma função senoidal:
Aqui,
é a frequência angular da onda.
Passo 4
Finalmente, na parte c), precisamos encontrar os pontos do fio que são sempre estacionários. Pontos estacionários são aqueles que não se movem, ou seja, onde a amplitude da onda total é sempre zero (para interferência destrutiva) ou máxima constante (para interferência construtiva).
Para interferência construtiva:
Para interferência destrutiva:
Resposta
a) Para interferência construtiva em
:
;
Para interferência destrutiva em
:
, onde
.
b) Função de onda total:
-
Interferência construtiva:
-
Interferência destrutiva:
c) Pontos estacionários no fio:
-
Interferência construtiva:
-
Interferência destrutiva:
Exercícios relacionados
(a) normalize
.
(b) Determine a evolução temporal da função de onda, ou seja, obtenha .
© Calcule e
.
(d) Se uma medida é feita, o que acontece com os valores destes coeficientes?
(b) Determine a evolução temporal da função de onda, ou seja, obtenha
© Calcule
(d) Se uma medida é feita, o que acontece com os valores destes coeficientes?
Duas esferas condutoras idênticas,
e
, estão carregadas com a mesma carga elétrica de maneira que, quando colocadas a uma distância
. (muito grande comparada com seus raios) aparece uma força de repulsão de módulo
entre elas. Então, uma tercéira esfera
, idêntica às duas primeiras, inicialmente descarregada, é tocada pela esfera
e, logo depois, pela esfera
. Em seguida, sem a presença da esfera
, colocam-se as duas esferas
e
à mesma distância
anterior e verifica-se que agora o módulo da força de repulsão vale
. Podemos afirmar que:
a) .
b) .
c) .
d)
e.
a)
b)
c)
d)
e.
Uma corda de violino, de
e densidade linear
, está colocada junto a um alto falante que é alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. Verifica-se que quando a frequência do oscilador varia continuamente na faixa de 500 a 1500 Hz , a corda oscila apenas nas frequências de 880 e 1320 Hz . Encontre a tensão na corda.
Resp.:
Resp.:
Suponha que na extremidade aberta de um tubo sonoro, a variação de pressão não cai descontinuamente para zero. Em conseqüência o nó da pressão fica um pouco fora da extremidade aberta. Assuma que o tamanho efetivo do tubo seja:
onde
é o tamanho real do tubo e
o seu diâmetro. Sendo as duas primeiras freqüências de ressonância
e
e a velocidade do som
, encontre as dimensões
e
do tubo.