Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo X:
e
. Pergunta-se : (a) Qual o valor de
para que ocorra a interferência construtiva em
e interferência destrutiva em
. (b) Para cada valor de
encontrado, escreva a função de onda total,
. © Encontre os pontos do fio, que são sempre estacionários. Resp.: a) máx:
; mín:
; b) Construtiva:
Destrutiva:
; c) Construtiva:
, n natural; Destrutiva:
natural.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas ondas que estão se movendo ao longo de um fio que coincide com o eixo X. As equações dessas ondas são:
O que a gente precisa descobrir aqui envolve interferência de ondas, que é quando duas ondas se encontram e combinam suas amplitudes. A gente vai precisar entender como somar essas ondas e determinar os valores de
que causam interferência construtiva (onde as ondas se somam para formar uma onda maior) e interferência destrutiva (onde as ondas se cancelam). Além disso, vamos encontrar a onda total resultante e identificar os pontos estacionários no fio.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), onde temos que encontrar o valor de
que causa interferência construtiva e destrutiva em
.
Primeiro, para interferência construtiva, queremos que as duas ondas estejam em fase no ponto
. Isso significa que o ângulo dentro do cosseno das duas ondas deve ser igual, ou seja:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Mas, como queremos que isso aconteça para todo o tempo
, a única forma possível é que
seja um múltiplo de
, ou seja:
Para interferência destrutiva, queremos que as ondas estejam em oposição de fase, ou seja, que a diferença de fase seja
(ou um múltiplo ímpar de
):
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos escrever a função de onda total
para cada caso encontrado.
Quando temos interferência construtiva (
), as duas ondas somam suas amplitudes máximas. Usando a fórmula da soma de cossenos com mesma fase:
Já na interferência destrutiva (
), as ondas têm fases opostas, e a soma resulta em uma função senoidal:
Aqui,
é a frequência angular da onda.
Passo 4
Finalmente, na parte c), precisamos encontrar os pontos do fio que são sempre estacionários. Pontos estacionários são aqueles que não se movem, ou seja, onde a amplitude da onda total é sempre zero (para interferência destrutiva) ou máxima constante (para interferência construtiva).
Para interferência construtiva:
Para interferência destrutiva:
Resposta
a) Para interferência construtiva em
:
;
Para interferência destrutiva em
:
, onde
.
b) Função de onda total:
-
Interferência construtiva:
-
Interferência destrutiva:
c) Pontos estacionários no fio:
-
Interferência construtiva:
-
Interferência destrutiva: