Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo X: e . Pergunta-se : (a) Qual o valor de para que ocorra a interferência construtiva em e interferência destrutiva em . (b) Para cada valor de encontrado, escreva a função de onda total, . © Encontre os pontos do fio, que são sempre estacionários. Resp.: a) máx: ; mín: ; b) Construtiva: Destrutiva: ; c) Construtiva: , n natural; Destrutiva: natural.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas ondas que estão se movendo ao longo de um fio que coincide com o eixo X. As equações dessas ondas são:
O que a gente precisa descobrir aqui envolve interferência de ondas, que é quando duas ondas se encontram e combinam suas amplitudes. A gente vai precisar entender como somar essas ondas e determinar os valores de que causam interferência construtiva (onde as ondas se somam para formar uma onda maior) e interferência destrutiva (onde as ondas se cancelam). Além disso, vamos encontrar a onda total resultante e identificar os pontos estacionários no fio.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde temos que encontrar o valor de que causa interferência construtiva e destrutiva em .
Primeiro, para interferência construtiva, queremos que as duas ondas estejam em fase no ponto . Isso significa que o ângulo dentro do cosseno das duas ondas deve ser igual, ou seja:
Simplificando:
Resolvendo para :
Mas, como queremos que isso aconteça para todo o tempo , a única forma possível é que seja um múltiplo de , ou seja:
Para interferência destrutiva, queremos que as ondas estejam em oposição de fase, ou seja, que a diferença de fase seja (ou um múltiplo ímpar de ):

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos escrever a função de onda total para cada caso encontrado.
Quando temos interferência construtiva ( ), as duas ondas somam suas amplitudes máximas. Usando a fórmula da soma de cossenos com mesma fase:
Já na interferência destrutiva ( ), as ondas têm fases opostas, e a soma resulta em uma função senoidal:
Aqui, é a frequência angular da onda.

Passo 4

Finalmente, na parte c), precisamos encontrar os pontos do fio que são sempre estacionários. Pontos estacionários são aqueles que não se movem, ou seja, onde a amplitude da onda total é sempre zero (para interferência destrutiva) ou máxima constante (para interferência construtiva).
Para interferência construtiva:
éú
Para interferência destrutiva:
éú

Resposta

a) Para interferência construtiva em : ;
Para interferência destrutiva em : , onde .
b) Função de onda total:
  • Interferência construtiva:
  • Interferência destrutiva:
c) Pontos estacionários no fio:
  • Interferência construtiva:
  • Interferência destrutiva:

Exercícios relacionados

(a) normalize .
(b) Determine a evolução temporal da função de onda, ou seja, obtenha .
© Calcule e .
(d) Se uma medida é feita, o que acontece com os valores destes coeficientes?
Duas esferas condutoras idênticas, e , estão carregadas com a mesma carga elétrica de maneira que, quando colocadas a uma distância . (muito grande comparada com seus raios) aparece uma força de repulsão de módulo entre elas. Então, uma tercéira esfera , idêntica às duas primeiras, inicialmente descarregada, é tocada pela esfera e, logo depois, pela esfera . Em seguida, sem a presença da esfera , colocam-se as duas esferas e à mesma distância anterior e verifica-se que agora o módulo da força de repulsão vale . Podemos afirmar que:
a) .
b) .
c) .
d)
e.
Uma corda de violino, de e densidade linear , está colocada junto a um alto falante que é alimentado por um oscilador de áudio de frequência variável. Verifica-se que quando a frequência do oscilador varia continuamente na faixa de 500 a 1500 Hz , a corda oscila apenas nas frequências de 880 e 1320 Hz . Encontre a tensão na corda.
Resp.:
Suponha que na extremidade aberta de um tubo sonoro, a variação de pressão não cai descontinuamente para zero. Em conseqüência o nó da pressão fica um pouco fora da extremidade aberta. Assuma que o tamanho efetivo do tubo seja: onde é o tamanho real do tubo e o seu diâmetro. Sendo as duas primeiras freqüências de ressonância e e a velocidade do som , encontre as dimensões e do tubo.

Resp. e