Duas ondas estão se propagando ao longo de um fio esticado, que coincide com o eixo X: y1(x, t)=A c o s[k(x-v t)] e y2(x, t)=A operatorname c o s [k(x+v)+theta0]. Pergunta-se : (a) Qual o valor de theta0 para que ocorra a interferência construtiva em x =0 e interferência destrutiva em x=0. (b) Para cada valor de theta0 encontrado, escreva a função de onda total, y(x, t)= y1(x, t)+yz(x, t). © Encontre os pontos do fio, que são sempre estacionários. Resp.: a) máx: theta0=2 n pi; mín: theta0=(2 n+1) pi ; (n=0,1,2, ldots); b) Construtiva: y(x, t)=2 A cos (k x) cos (omega t) ; Destrutiva: y(x, t)=2 A sen(k x) sen(omega t); c) Construtiva: xn o=n pi / k, n natural; Destrutiva: xn o=(2 n+1) pi / 2 k, n natural.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas ondas que estão se movendo ao longo de um fio que coincide com o eixo X. As equações dessas ondas são:
y1(x, t) = A cos[k(x - v t)]
y2(x, t) = A cos[k(x + v t) + theta0]
O que a gente precisa descobrir aqui envolve interferência de ondas, que é quando duas ondas se encontram e combinam suas amplitudes. A gente vai precisar entender como somar essas ondas e determinar os valores de que causam interferência construtiva (onde as ondas se somam para formar uma onda maior) e interferência destrutiva (onde as ondas se cancelam). Além disso, vamos encontrar a onda total resultante e identificar os pontos estacionários no fio.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde temos que encontrar o valor de k(0 - v t) = k(0 + v t) + theta0 que causa interferência construtiva e destrutiva em -k v t = k v t + theta0 .
Primeiro, para interferência construtiva, queremos que as duas ondas estejam em fase no ponto theta0 = -2 k v t . Isso significa que o ângulo dentro do cosseno das duas ondas deve ser igual, ou seja:
theta0 = 2npi onde n = 0,1,2,ldots
Simplificando:
theta0 = (2n + 1)pi onde n = 0,1,2,ldots
Resolvendo para :
Mas, como queremos que isso aconteça para todo o tempo , a única forma possível é que seja um múltiplo de , ou seja:
Para interferência destrutiva, queremos que as ondas estejam em oposição de fase, ou seja, que a diferença de fase seja (ou um múltiplo ímpar de ):

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos escrever a função de onda total y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2A cos(kx) cos(omega t) para cada caso encontrado.
Quando temos interferência construtiva ( y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2A sin(kx) sin(omega t) ), as duas ondas somam suas amplitudes máximas. Usando a fórmula da soma de cossenos com mesma fase:
Já na interferência destrutiva ( ), as ondas têm fases opostas, e a soma resulta em uma função senoidal:
Aqui, é a frequência angular da onda.

Passo 4

Finalmente, na parte c), precisamos encontrar os pontos do fio que são sempre estacionários. Pontos estacionários são aqueles que não se movem, ou seja, onde a amplitude da onda total é sempre zero (para interferência destrutiva) ou máxima constante (para interferência construtiva).
Para interferência construtiva:
x0 = npik onde n é um número natural éú
Para interferência destrutiva:
x0 = (2n + 1)pi2k onde n é um número natural éú

Resposta

a) Para interferência construtiva em y(x, t) = 2A cos(kx) cos(omega t) : y(x, t) = 2A sin(kx) sin(omega t) ;
Para interferência destrutiva em x0 = npik, n natural : x0 = (2n + 1)pi2k, n natural , onde .
b) Função de onda total:
  • Interferência construtiva:
  • Interferência destrutiva:
c) Pontos estacionários no fio:
  • Interferência construtiva:
  • Interferência destrutiva:

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